1.2二次函数的图象与性质第3课时二次函数ya(x-h)²k的图象与性质 课件 2023-2024学年湘教版数学九年级下册

第2课时 二次函数y=a(x-h) +k 的图象和性质 九年级下 湘教版 1.掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质并会应用. 2.理解二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的联系. 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2之间的联系. 重点 难点 学习目标 难点 抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=ax2 (a≠0)之间有什么关系? 上加,下减, 且只变常数项 y=ax2 向 平移 个单位 y=ax2 +k 向 平移 个单位 y=ax2 - k 抛物线y=ax2 (a≠0)在上下平移的时候图象上所有点的横坐标有什么特点? 横坐标不变 上 k 下 k 新课引入 自变量左加右减 y=ax2 向 平移 个单位 y=a(x +h)2 向 平移 个单位 y=a(x +h)2 二次函数y=ax2(a≠0)在左右平移的时候图象上所有点的纵坐标有什么特点? 纵坐标不变 左 h 右 h 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=ax2(a≠0) 的图象的有什么关系? 新课引入 思考 我们知道 y=ax2(a≠0)可以通过_得到y=ax2 + k(a≠0), 那么y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k之间是否也存在着类似的上下平移关系呢? 上下平移 例1 画出函数 的图象,并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 解:列表: 7.5 5 3.5 3 3.5 … -2 -1 0 1 2 3 4 … … … x 新知学习 5 7.5 开口方向向上; 对称轴是直线x=1; 顶点坐标是(1,3). x<1时,y随x的增大而减小; x>、1时,y随x的增大而增大. 直线x=1 描点、连线,用平滑的曲线画出函数的图象 问题1:观察此二次函数,说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性. 1 2 3 4 5 x 2 3 4 5 6 7 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 问题2:观察二次函数 与 的图象有何关系? 解:由图象可得 的图象可以由 的图象先向上平移3个单位长度得到. 归纳 一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2形状相同,位置不同.把抛物线y=a(x-h)2向上(下)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据k的值来决定. 例2 画二次函数 的图象. 解 对称轴是直线 x = -1,顶点坐标是(-1,-3). 列表:自变量 x 从顶点的横坐标 -1 开始取值. x -1 0 1 2 3 … -3 -2.5 -1 1.5 5 … 描点和连线: 画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性, 画出图象在对称轴左边的部分. 这样就得到了 的图象. 例3 已知某抛物线的顶点坐标为(-2, 1), 且与 y 轴相交于点(0, 4),求这个抛物线所表示的二次函数的表达式. 解 由于点(-2,1)是该抛物线的顶点,可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为 y = a ( x + 2 )2 + 1 . 由函数图象过点(0,4), 可得 4 = a( 0 + 2 )2 + 1 , 解得 因此, 所求的二次函数的表达式为 二次函数y=a(x-h)2+k (a≠0)的性质 归纳 二次函数解析式 a的 符号 开口 方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 y=a(x-h)2+k a>0 向上 直线x=h (h,k) 当x>h时,y随x的增大而增大;当x<h时,y随x的增大而减小 当x=h时, y最小值=k y=a(x-h)2+k a<0 向下 直线x=h (h,k) 当x<h时,y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的增大而减小 当x=h时, y最大值=k 画 (a≠0)的图象的步骤如下: 第一步 写出对称轴和顶点坐标, 并且在平面直角坐标系内画出对称轴,描出顶点; 第二步 列表(自变量 x 从顶点的横坐标开始取值), 描点和连线, 画出图象在对称轴右边的部分; 第三步 利用对称性, 画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对称点描出来,然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点). 归纳 思考 我们知道 y=ax2 (a≠0)可以通过 _ 得到y=ax2 + k (a≠0),通过_得到y=a(x-h)2 (a≠0);把抛物线y=a(x-h)2通过_ ,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k (a≠0). 那么y=ax2 (a≠0)和y=a(x-h)2+k (a≠0)之间是否也存在着类似的关系呢? 上(下)平移 左(右)平移 上(下)平移 例4 画出函数 的图象,并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 解:列表: -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … … … x 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8