1.5三角函数的应用课件2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

1.5 三角函数的应用 1.经历应用三角函数解决实际问题的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.正确理解方位角、仰角和坡角的概念; 3.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题. 4.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明. 学习目标 难点 重点 新课引入 泰坦尼克号叙述了一段浪漫凄美的爱情故事,泰坦尼克号的沉没让人感到遗憾,如果舵手能够分清方向、准确的计算距离,避开冰山,也许“泰坦尼克号”的结局是完美的. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算,帮助轮船在航行中远离危险吗? 30 45 B O A 东 西 北 南 北偏东30 南偏西45 1.如图,以屏幕中的点O为基准,认识一下方向 2.请描述射线OA,OB的位置 射线OA是点O的北偏东30 的方向. 射线OB是点O的南偏西45 的方向. 方位角的定义: 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90 的角叫做方位角. 知识回顾: 例1 如图,海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55 的B处,往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25 的C处.之后,货轮继续向东航行. A B C 东 北 55 25 一 与方位角有关的实际问题 新知学习 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的?与同伴进行交流. A B C 东 北 55 25 【分析】这船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C 到AB航线的距离是否大于 10 n mile. 20 55 25 A B C D 也就是要求AD的长度! AD在两个直角三角形中! 相当于解直角三角形! BC的长度是已知的! 解:如解图,由点A作AD⊥BC于点D, 则在Rt ABD中, 在Rt ACD中, 解得 答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. 由BC=BD-CD,得 20 55 25 A B C D x 设AD=x, 1.将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案. 归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: 仰角:在视线与水平线所成的夹角中,视线在水平线上方的角 俯角:在视线与水平线所成的夹角中,视线在水平线下方的角 二 仰角和俯角问题 水平线 O 视线 仰角 铅垂线 视线 俯角 例2 如图所示,为了测量山高AC,在水平点B处测得山顶A的仰角是( ) A. ∠A B.∠ABC C. ∠ABD D.以上都不对 方法总结:弄清仰角的概念.找到视线与水平线所成的夹角 B 仰角:在视线与水平线所成的央角中, 视线在水平线上方的角 例3 如图,小明想测量塔 CD 的高度.他在 A 处仰望塔顶,测得仰角为30 ,再往塔的方向前进 50 m 至 B 处,测得仰角为60 ,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到 1 m ) D A B C 50 m 30 60 也就是要求CD的长度! CD在两个直角三角形中! 相当于解直角三角形! AB的长度是已知的! D A B C 50 m 30 60 答:该塔约有 43 m 高. 解:如解图,设CD =x m, 由题意:∠A=30 ,∠DBC=60 ,AB =50 m. 则∠ADC =60 ,∠BDC =30 . D A B C 50 m 30 60 在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图所示,坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 ( 或坡比 ),记作 i, 即 i = h:l . 坡度通常写成 1:m 的形式,如 i = 1:6 . 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 . l h 坡面 i = h : l 三 利用坡角解决实际问题 温馨提示 对于坡度有 . 坡度等于坡角的正切值 显然,坡度越大,坡角 就越大,坡面就越陡. l h 坡面 i = h : l 例4 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40 减至35 ,如图.已知原楼梯的长度为4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(sin35 =0.57,cos35 =0.82,tan35 =0.70,sin40 =0.64,cos40 =0.77,tan40 =0.84,结果精确到0.01m). 楼梯什么量不变? 你能画出图吗? 要求什么量? 哪些量是已知的? C B A D 4 m 35 40 调整后的楼梯会加长多少? 调整后的楼梯会加长多少? 分析:如图,根据题意可知∠A=35 ,∠BDC=40 ,DB=4 m, 求 AB-BD的长. 答:调整后的楼梯会加长约 0.4