1.4 解直角三角形 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

1.4 解直角三角形 1.了解解直角三角形的含义; 2.经历解直角三角形的过程,掌握解直角三角形的方法. 学习目标 难点 重点 sin cos tan 30 45 60 三角函数 锐角 还记得特殊角的三角函数吗? 新课引入 在Rt ABC中,其中∠C=90 ,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,那么其余两个锐角和三条边之间有怎样的关系呢? A C B c b a 两锐角之间的关系 三边之间的关系 边角之间的关系 知两边求一角 知一角一边求边 知一角求另一角 知两边求第三边 ∠A+∠B=90 a2+b2=c2 sinA= ,cosA= ,tanA= 新知学习 什么叫解直角三角形? 一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 例1 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且 ,求这个直角三角形的其他元素. A B C 解:在Rt ABC中,a2+b2=c2, 在Rt ABC中, 勾股定理 三角函数 两锐角互余 一 已知两边解直角三角形 例1 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且 ,求这个直角三角形的其他元素. A B C 还有其他方法吗? 温馨提示 解直角三角形时,求某些未知量的方法往往不唯一,选择关系式通常遵循以下原则: 1.为了减少误差,尽量选择可以直接应用原始数据的关系式; 2.尽量选择便于计算的关系式; 3.能用乘法计算的要避免使用除法计算. 二 已知一边及一锐角解直角三角形 在Rt ABC中,如果已知一边和一锐角,你能求出这个三角形的其他元素吗? 例2 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25 ,求这个直角三角形的其他元素(sin25 =0.423,cos25 =0.906,tan25 =0.466,边长精确到1). A B C b 30 c a 25 解:在Rt ABC中,∠C=90 ,∠B=25 , ∴∠A=65 . 两锐角互余 三角函数 三角函数 例2 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25 ,求这个直角三角形的其他元素(sin25 =0.423,cos25 =0.906,tan25 =0.466,边长精确到1). A B C b 30 c a 25 还有其他方法吗? 归纳 事实上,在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果再知道两个元素(其中至少有一个是边),这个三角形就可以确定下来,这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素. 1.在 ABC中,∠C=90 ,若∠B=2∠A,b=3,则a等于( ) A. B. C.6 D. B A B C b=3 a 随堂练习 2.如图,在 Rt ABC 中,∠C = 90 ,AC = ,BC = ,解这个三角形. A C B 解: , 分析:给了两条边的长,没有已知的锐角. 可以先求第三条边,也可以先求角 3. 在Rt ABC中, ∠C=90 , ∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c,根据下列条 件求出直角三角形的其他元素: (sin27 =0.454,cos27 =0.891,tan27 =0.510,角度精确到1 ) (1) 已知 a = 4, b =8; ∵∠C=90 ,∴∠B=90 -∠A≈63 . 解:在Rt ABC 中,由勾股定理得 c= = . ∵sin A= = = , ∴∠A≈27 . A B C b=8 a=4 由勾股定理得a= = . 解:在Rt ABC中,∠C=90 ,∠B=60 , ∴∠A=30 . ∴c= = = . (2) 已知 b =10, ∠B=60 ; ∵sin B= ,b=10, A B C b=10 60 a c (3) 已知 c =20, ∠A=60 ; 解:在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=60 , ∴∠B=30 . ∵sin A= ,c=20, ∴a=c sin A=20 sin 60 =20 = . 由勾股定理得b= =10. B A C c=20 60 a b 4. 如图,工件上有一V形槽(AC=BC),测得它的上口宽20mm,深19.2mm,求V形角∠ACB的度数(tan27.5 =0.521,结果精确到1 ) 解:过点C作CD⊥AB与点D, ∵AC =BC,CD⊥AB, 在Rt ADC中,∠ADC=90 ,AD=10,DC=19.2. (2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的锐角 等于多少?这时人是否能够安全使用这个梯子?(精确到1 ) 5. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与