第1讲集合的概念与运算-2024年高中数学竞赛讲义

第1讲 集合的概念与运算 知识方法扫描 有关集合的几个运算律及常用知识 1．设全集为，且． （1）结合律，； （2）分配律；； （3）吸收律；； （4）反演律；． 2．一个阶集合（即由个元素组成的集合）有个不同的子集，其中有个非空子集，也有个真子集． 3．集合的划分：若，且（，，） ，则这些子集的全体叫作的一个划分． 典型例题剖析 【例1】设集合，若中所有三元子集的3个元素之利组成的集合为，则集合 ． 【解法1】显然，在的所有三元子集巾，每个元糸均出现了3次，所以，即 于是，集合的4个元素分别为，，，． 因此，． 【解法2】不妨设，则．依题意，得 ，解得． 故 评注 解法1为命题组提供的参考答案． 【例2】已知集合，，，若集合，且， 求的值． 【分析】 要求值归结于求出，． 【解】由题意可得，．因为，所以．又由，故有， 则， 所以或，结合及集合的互异性，可求得，所以 评注 本题主要考查有限集相等的概念和性质，做题时切勿陷入烦琐的分类讨论之中． 【例3】已知集合，，，则 （1）当取何值时，是一个2元集；（2）当取何值时，是一个3元集； 【分析】由分类讨论公式，，所以只耍求出与中的元素，再分别加以讨论即可． 【解】（1）因为， 与分别为方程组和的解集． 由得，或； 由得，或； 要使含有两个元素，只需或，解得或． （2）要使含有3个元素，只需，解得． 评注 从解析几何的角度看，本题实质是讨论两条直线的并集与单位圆的交点个数问题． 【例4】设是两个整数完全平方和的集合，即． （1）证明：若，则； （2）证明：若，则，其中是有理数． 【分析】 欲证，只需证明具有集合的性质，也即证明可以表示为两个㛑数的平方和． 【证明】：（1）由，则可设，，其中，，都是整数，于是， 即是两个正数的平方和，从而． （2）由，由（1）知，，于是可设，其中，都是整数，于是，对于，有，其中，，均为有理数，从而命题得证． 评注 该问题的背景即为著名的斐波那契恒等式． ． 【例5】已知集合，集合，其中，，如果，，，且中所有元素之利为224，求集合． 【分析】 可根据交集的概念及题设条件确定的值，再根据并集的概念和整数的范围硧定的值． 【解】 因为，所以，故，足两个完全平方数． 又，且，所以，． 因为位所有元素之利为，所以， 而，所以．因为，且，所以，中必有一个是3，且．设中另一个为，若， 则， 这是不可能的，所以，则，解得（另一根舍去）．所以，，故． 评注 这是一道集合的运算与数论的综合题，解题的关键是先确定，的值，从而缩小问题的研究范围，这是解答竞赛题的一种常用策略． 【例6】设， ， 设． （1）能否等于?证明你的结论； （2）能取到多少个不同的整数值? 【解】 因为， ，， 所以． 设和式中有个，个，个1，则是非负整数，且． ， 若，则，此时 是一个奇数．所以不可能等于2010． （2）由（1）可知，若是整数，则，．由于， ，所以可以取到503个不同的整数值． 评注 建立和式的表达式，将问题转化为简单的不定方程与数论问题，是解决本题的关键． 【例7】定义闭集合，若， ，则，． （1）举一例，真包含于的无限闭集合； （2）求证：对任意两个闭集合， ，存在，但． 【解】（1）这样的集合很多：如一切有理数构成的有理数集，整数集，偶数集，所有的3的倍数构成的集合等． （2）因为，所以必存在，使得．若，则令，结论成立； 同理，由知，必存在， ，若，则结论成立． 否则，， ．令，（也可令或等，可用反证法证得， ．过程如下：若，则由于，考虑它们的差，得到，与矛盾；同理，也导致矛盾! 评注 本题有较浓厚的高等代数背景，进入大学后会进一步学习相关知识． 【例8】设是一些互不相同的4元数组，的集合，其中或，．已知的元素个数不超过15且满足：若，，则，，，， 且，，，，求的元素个数的最大值． 【解】 显然所有可能的4元数组有16种．因为至少有一个那样的4元数组不在中，所以，，和中至少有一个不在中，若不然由题中条件可推出所有那样的4元数组都在中，不妨设．此时由题中条件又知，和中至少有2个不能在中，不妨设和不在中．此时又可知和不能同时在中，不妨设不在中．于是的元素个数不超过个． 现在设是所有可能的16个4元数组中去掉，，和后所成的集合，我们要证满足题中条件，从而的元素个数最大值为12．任取，． （1）若或或，则显然 ，，， 不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，从而属于．同理，， ，，属于． （2）若或且，则 （，，，），由此推出或不属于，这种情况不会出现． （3）若或或，则显然 （， ，，）不等于上述去掉的4个4元数组中任何一个，从而属于． （4）若且或，则 由此推出或不属于，这种情况也不会出现． 综上所述，是满足题目要求的，故的元素个数最大值就是12． 评注