函数整数解问题与等高线讲义-2024届高三数学二轮专题

微专题13 函数整数解问题与等高线 知识梳理 一、整数解问题 整数解的个数问题,主要采用分离法(完全分离,不完全分离)或分类讨论解法,结合数形结合分清存在哪个整数解,再分别是以相邻的哪几个整数为临界判断即可. 二、等高线问题 等高线问题重在“减元”,要充分利用“函数值相等”,树立目标函数意识,预设“消谁留谁”,利用“函数值相等”的逆向使用,结合图形寻找变量之间相互关系,探究出自变量间的等量关系. 例题讲解 考查点一 不等式中的整数解问题 [例1] 1.(用函数型)已知函数,若集合中有且只有一个元素,求实数的取值范围_______________ 2.(指数型)(2015•全国卷第12题)设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.(对数型)(2021-襄城区校西模拟)若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.(复合型)(2019-江西模型)已知函数,若关于的不等式恰有两个整数解,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 相似题 1.设函数,若存在唯一的正整数,使得,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知函数,若函数的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.已知函数,若的解集中恰有一个整数,则的取值范围为( ) A. B. C. D.4.已知函数,关于的不等式0只有一个整数解,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 考查点二 等高线相关问题 [例2] 1.设函数,若方程有四个不同的实数解,则的取值范围是______________. 2.已知函数,其中为自然对数的底数,若存在实数满足,且,则的取值范围为______________. 3.已知函数(),函数,直线分别与两函数交于,两点,则的最小值为( ) A. B.1 C. D.2 4.已知直线与函数和分别交于,两点,若的最小值为2,则______________. 相似题 1.已知函数,若方程有3个不同的实根,,,(),则的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.已知函数,若关于的方程有两个不等实根,,且,则的最小值是( ) A.2 B. C. D. 3.已知函数,若存在实数,()满足,则的取值范围为______________. 4.已知直线分别与函数和函数(实常数)交于两点,则的最小值为( ) A. B. C. D. 考查点三 综合问题 [例3] 1.已知函数(). (1)求函数的最大值; (2)若函数有两个零点,求实数的取值范围; (3)若不等式仅有一个整数解,求实数的取值范围. 2.已知函数,. (1)记,试判断函数的极值点的情况； (2)若有且仅有两个整数解,求的取值范围. 选题意图:对于解答题中主要通过零点存在性定理找出其中一个或几个整数解,再根据整数解的个数找到临界其中一个或几个整数解,再根 相似题 1.已知函数,,. (1)当时,函数有两个零点,求的取值范围; (2)当时,不等式有且仅有两个整数解,求的取值范围. 2.已知函数(),e为自然对数的㡳数. (1)当时, ①求函数在处的切线方程; ②求函数的单调区间； (2)若有且只有唯一整数,满足,求实数的取值范学。 过关练习 1.(2021-江西上饶高一期末(理))已知,关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数,则所有符合条件的的值之和是( ) A.13 B.15