精品解析：河南省三门峡市2023-2024学年高三上学期1月第一次大练习数学试题

★2024年1月24日 2023-2024学年度上学期高三第一次大练习 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 3. 已知非零向量，，满足，，若为在上的投影向量，则向量，夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在平面直角坐标系中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头（开始时与圆盘上点重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为，细绳的粗细忽略不计，当时，点与点之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题：甲：；乙：；丙：；丁：．所写为真命题的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 丙和丁 D. 甲和丁 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 数列的前n项和为Sn，，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 10. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ） A. 可能取到数字4 B. 中位数可能是2 C. 极差可能是4 D. 众数可能是2 11. 已知函数满足：，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 函数是偶函数 C. 函数在上单调递减 D. 函数值域为 12. 设双曲线焦距为，离心率为e，且a，c，成等比数列，A是E的一个顶点，F是与A不在y轴同侧的焦点，B是E的虚轴的一个端点，PQ为E的任意一条不过原点且斜率为的弦，M为PQ中点，O为坐标原点，则（ ） A. E的一条渐近线的斜率为 B. C. （，分别为直线OM，PQ的斜率） D. 若，则恒成立 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在一次知识竞赛的选做题部分，要求选手在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，答题时选手的选法种数为______. 14. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则______（参考值，） 15. 在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD是边长为的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为3，该四棱锥的外接球O的半径为5，若球心O在四棱锥P−ABCD内，则顶点P的轨迹长度为___________. 16. 已知函数在（为自然对数的底）内有零点，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，分别是的内角所对的边，且. （1）求角大小； （2）若，，求边 18. 已知数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，设数列的前n项和，证明：． 19. 如图， 在四棱锥中， 四边形ABCD是直角梯形，平面ABCD，，∥， ，点 E 是 PB 的中点. （1）证明: 平面平面 PBC； （2）若平面 PAD 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值为2，求直线PD 与平面ACE 所成角的正弦值. 20. 为深入学习党的二十大精神，某学校