第十六章　二次根式－二次根式化简求值方法训练课件2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十六章　二次根式 二次根式 化简求值的常用方法训练 化简二次根式的常用技巧 1.把被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2.若被开方数中含有带分数，应先将带分数化为假分数； 3.若被开方数中含有小数，应先将小数化为分数；4.若被开方数是多项式，则先进行因式分解. 方法1直接应用二次根式性质、法则化简 1.把下列二次根式化成最简二次根式： (1)；　(2)；　 【解】(1)＝＝＝4. (2)＝＝＝. 【解】(3)＝＝. (4)＝＝. (3)；　(4). 方法2根据字母的取值应用法则化简 2.化简： (1)÷(－3)·(－3)(a＞0，b＞0)； 【解】原式＝b··3 ＝b＝b＝2ab. (2)÷·(a＞b＞0). 【解】原式＝··＝＝＝. 方法3根据隐含条件化简含有字母的二次根式 3.若x，y为实数，且y＜＋＋2，试化简：x2＋｜y－2｜－. 【解】由题意得3－x≥0，x－3≥0，即x≤3且x≥3， ∴x＝3.∴y＜2.∴y－2＜0，y－3＜0. ∴原式＝x2＋｜y－2｜－＝32＋(2－y)－(3－ y) ＝9＋2－y－3＋y＝8. 方法4 分类讨论化简含有字母的二次根式 4.(1)设x，y为非零数，试求＋的值. 【解】当x，y同号时：①当x＞0，y＞0时，原式＝＋＝2；②当x＜0，y＜0时，原式＝＋＝－2. 当x，y异号时：①当x＞0，y＜0时，原式＝＋＝0；②当x＜0，y＞0时，原式＝＋＝0. 综上可知，原式的值是2或－2或0. (2)化简：－. 【解】－＝｜1－x｜－＝｜1－x｜－｜x－4｜. 当x＜1时，原式＝(1－x)－(4－x)＝－3； 当1≤x≤4时，原式＝(x－1)－(4－x)＝2x－5； 当x＞4时，原式＝(x－1)－(x－4)＝3. 综上可知，原式＝ 方法5阅读资料用类比的方法化简复合二次根式 5.[新考法 类比推理法]阅读材料： 形如的式子的化简，只要我们找到两个数a，b(a＞b＞0)，使a＋b＝m，ab＝n，这样()2＋()2＝m，·＝，于是＝＝±.例如：化简. 解：这里m＝7，n＝10. ∵5＋2＝7，5×2＝10，即()2＋()2＝7，×＝， ∴＝＝＋. 用上述方法化简： (1)；　　　　 【解】这里m＝8，n＝15.∵3＋5＝8，3×5＝15， 即()2＋()2＝8， ×＝， ∴＝＝＋. (2). 【解】这里m＝3，n＝2.∵2＋1＝3，2×1＝2， 即()2＋()2＝3， ×＝， ∴＝＝－1. 　　在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，运算的最后结果要化简成最简形式.在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法. 二次根式化简求值方法： 估算法 1.[2023·重庆B卷]估计×的值应在(　A　) A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 【点拨】 　　原式＝－1. ∵5＜＜6. ∴4＜－1＜5. 故选A. A 公式法 2.计算： (＋)(－)－(20－π)0. 【解】(＋)(－)－(20－π)0 ＝6－5－1 ＝0. 3.计算： (＋)2(5－2). 【解】(＋)2(5－2) ＝(5＋2)(5－2) ＝52－(2)2 ＝1. 拆项法 4.计算：. [提示：＋4＋3＝(＋)＋3(＋)] 【解】原式＝ ＝＋ ＝＋ ＝－＋－ ＝－. 倒数法 5.化简：. 【解】设原式＝＝x， 则＝＋＝－＋－1＝－1. ∴原式＝x＝＝. 约分法 6.计算：. 【解】原式＝ ＝＝＝. 配方法 7.若a，b为实数，且b＝＋＋15，试求－的值. 【解】由二次根式的定义，得 ∴3－5a＝0，则a＝.∴b＝15.∴ab＞0，a＋b＞0，a－b＜0. ∴－＝－ ＝－＝(－)＝. 当a＝，b＝15时， 原式＝×＝. 平方法 8.化简：. 【解】设原式＝x，则x2＝＝2. 又∵x＞0，∴原式＝x＝. 换元法 9.已知n＝＋1，求＋的值. 【解】设x＝n＋2＋，y＝n＋2－， 则x＋y＝2n＋4，xy＝4n＋8. 则原式＝＋＝＝＝－2＝－2＝n. 当n＝＋1时，原式＝＋1. 整体代入法 10.已知x＝3＋，y＝3－，求下列各式的值. (1)x2－y2； 【解】∵x＝3＋，y＝3－， ∴x＋y＝3＋＋3－＝6， x－y＝3＋－(3－)＝2， ∴x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝6×2＝12. (2)＋. 【解】∵x＝3＋，y＝3－， ∴x＋y＝3＋＋3－＝6， xy＝(3＋)×(3－)＝4， ∴＋＝＝＝＝＝7. 先判后算法 11.已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值. 【解】∵a＋b＝－6，ab＝5， ∴a＜0，b＜0. ∴b＋a ＝－－ ＝－· ＝－ ＝－ ＝－ ＝－. 辅元法 12.已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x＞0，y