2024年九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊三角形

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与特殊三角形 1．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)如图①，若抛物线的对称轴为直线，． ①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； ②由①得抛物线的函数表达式为______； (2)将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点O，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______． 3．如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为． ①求点的坐标； ②点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 4．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由，且求； (3)若点Q是直线上方抛物线上的一个动点，则的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由． 5．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．    (1)求a，k的值． (2)求的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点且，将绕点按逆时针方向旋转，点恰好与重合． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点为线段上的任一动点，过点作 ，交于点，连结，求面积的最大值； (3)对称轴上是否存在一点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 7．已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点坐标为D(－1，－4)，A(－3，0) ． （1）求此抛物线的解析式； （2）判断ACD的形状，并说明理由． 8．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式． （2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线经过A（－1，0）、B（5，6）两点，点是线段上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一个动点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上． （1）= ，c= （直接填写结果） （2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 11．如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在拋物线上． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为，，求关于的函数关系式； (3)当是直角三角形时，求点的坐标． 12．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴正半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，点P在线段上，轴交直线于G，延长到点E，使，以为斜边在右侧作等腰直角．当点F正好落在抛物线上时，求P点的坐标； (3)直线与抛物线交于点M，N，是否存在实数m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 13．如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．    (1)求a的值和直线的函数表达式； (2)设的周长为，的周长为，若，求m的值； (3)如图2，在（2）条件下将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 14．如图①，已知抛物线L：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的关系式； (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接、，当面积最大时，求出P点坐标； (3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P，使成