2023-2024学年人教版八年级数学下册寒假预习专题九勾股定理综合

数学八年级下寒假预习专题训练 专题九 第17章 勾股定理的综合应用 【专题导航】 目录 【知识点一 利用勾股定理求最短路径】......................................1 【知识点二 利用勾股定理解决图形折叠】...................................11 【知识点三 勾股定理的拓展】........................................15 【考点一 利用勾股定理求最短路径】 平面间的最短路径问题 依据：1.一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 2. 定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值. 3. 一定点与两直线上的两动点三点之间的距离之和最短利用对称转化成两点之间线段最短。 【典例剖析1】 【典例1-1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC长度的最小值是________. 【典例1-2】如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6 ，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____． 针对练习1 1、如图，在中，，，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　　　　　　． 2、如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是AC边上的一个动点，当BP长度最小时，PC的长是　　　　　　　　　　　　　　　. 立体图形的最短路径问题 立体图形的最短路径问题，首先展开成平面图形，转化成平面间两点间的最值问题。 【典例1-3】、如图，长方体的长为20 cm，宽为10 cm，高为15 cm，点B与点C之间的距离为5 cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，那么需要爬行的最短距离是多少? 【典例1-4】如图，一个圆柱的底面周长为16 cm，高为6 cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少? 【典例1-5】某会展中心在会展期间准备将高5 m、长13 m、宽2 m的楼梯铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼梯至少需要花费________元. 针对练习2 1.在如图所示的圆柱体中，底面圆的半径是，高为4，BC是上底面的直径，若一只小虫从点A出发，沿圆柱体侧面爬行到点C，则小虫爬行的最短路程是　　　　　　　． 2.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处. (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长. 3.有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵． (1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注； (2)试求小虫爬行的最短路程． 【考点二 利用勾股定理解决图形折叠】 勾股定理在有关图形折叠（翻折）计算的问题中的方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 1. 三角形的折叠 【典例2-1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为(　　) A. B. 2 C. D. 【典例2-2】如图,Rt△ABC中,∠B=90?,AB=9,BC=6,,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段AN的长等于(    ) A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 针对练习3 1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为　　　　　.  2.如图，已知△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与B重合，则AE长为_____． 3.、如图，一张纸片的形状为直角三角形，其中，，，沿直线AD折叠该纸片，使直角边AC与斜边上的AE重合，则CD的长为　　　　　　cm． 2. 长方形的折叠 矩形转化为直角三角形问题。在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 【典例2-3】如图，在长方形AB