第01讲 7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第01讲 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课程标准 学习目标 ①理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 ②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。 ③.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。 1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法； 知识点01：实数系 （1）实数系的分类 (2)实数的性质 ①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数； ②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律； ③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系. 知识点02：复数的概念 （1）复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立. 所以实数系经过扩充后得到的新数集是. （2）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （3）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 【即学即练1】（2023下·陕西西安·高一阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？ （2）若，且，则实数的值分别为多少？ 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）由已知得， 解得； （2）由已知得， 解得或. 知识点03：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 【即学即练2】（2023·全国·高一课堂例题）实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当，即时，复数z是实数． （2）当，即时，复数z是虚数． （3）当且，即时，复数z是纯虚数． 题型01 虚数单位及其性质 【典例1】（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习） . 【典例2】（2023下·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习） ． 【变式1】（2023下·江苏徐州·高一统考期中）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)． 题型02 复数的基本概念 【典例1】（2023·全国·高一课堂例题）写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 【典例2】（2021·高一课时练习）已知＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i ，＝2a＋(a2＋a)i，其中，，则a的值为（   ） A．0 B．－1 C． D． 【变式1】（2023下·高一课时练习）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【变式2】（多选）（2023下·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．存在x使得小于0 B．存在x使得 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 题型03 求复数的实部与虚部 【典例1】（2024上·广东·高二学业考试）若复数，则复数的虚部为（    ） A．5 B．-5 C．5 D．-5 【典例2】（多选）（2023下·福建福州·高一福州黎明中学校考期中）的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023下·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）复数，则复数z的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023上·云南·高二校联考期中）已知，，若，则z的虚部是（    ） A．-2 B．1 C．-2i D．2i 题型04 复数相等的充要条件 【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知，求实数，的值． 【变式1】（2024·全国·高一假期作业）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）设，，若复数，求，． 题型05 复数的分类 【典例1】（2022下·山东青岛·高一统考期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．－2 C． D．4 【典例2】（2023下·上海奉贤·高一校考阶段练习）若复数是实数，则实数 . 【典例3】（2023下·陕西宝鸡·高一统考期中）