第13讲 拓展一：平面向量综合问题-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第13讲 拓展一：平面向量综合问题 题型01 平面向量共线定理及其推论 【典例1】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【典例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知点O是的内心，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【典例3】（2023·湖北武汉·统考三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D．9 【变式1】（2023下·浙江宁波·高二校联考期末）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2】（2023下·江苏南京·高一统考期中）在中，点是边所在直线上的一点，且，点在直线上，若向量，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D．9 【变式3】（2022上·海南·高三校联考期末）已知长方形中，，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，线段，交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型02平面向量数量积（最值，范围）问题 【典例1】（2023下·天津·高一统考期末）在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023下·江苏泰州·高一统考期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【典例3】（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为 ． 【典例4】（2023下·四川成都·高一统考期末）已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ． 【变式1】（多选）（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）在中，，，，为内任意一点（含边界），且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023下·北京通州·高一统考期末）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是 ．    【变式3】（2023下·浙江丽水·高二统考期末）在中，，为边上的动点，则的最小值为 ． 【变式4】（2023下·广东·高一校联考阶段练习）如图，已知是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，，则的最大值是 ．    题型03平面向量的模（最值，范围）问题 【典例1】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ． 【典例2】（2023上·天津和平·高三天津市第二南开中学校考期中）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为 . 【典例3】（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）已知，，，且，为钝角，若的最小值为，则的最小值是 【典例4】（2023下·四川眉山·高三校考开学考试）在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的值； (2)若，点D是AC边上靠近点C的三等分点，求BD的取值范围. 【变式1】（2023上·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）在中，为中点，为线段上一点，且满足，若，则的最大值为 ． 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若的最大值为1，的取值范围为 ． 【变式3】（2023上·江苏南京·高二统考期中）在中，分别为角所对的边，． (1)求角的大小； (2)若的面积为，且，，求的最小值． 题型04平面向量夹角（最值，范围）问题 【典例1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【典例2】（2023下·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【典例3】（2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023上·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为 . 【变式1】（2022上·江西·高三校联考阶段练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2021下·浙江·高一期末）已知向量的