考点19 排列组合-2024年新高考数学艺体生一轮复习

考点19 排列组合 一．两个计数原理 1.分类加法计数原理 （1）概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． （2）特征 ①每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 ②各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 2.分步乘法计数原理 （1）概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． （2）特征 ①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事 ②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏 3.分类加法和分步乘法计数原理区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 4.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)分类要做到不重不漏． 二．排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C 3． 排列、组合常见类型及解题思路 （一）常用方法 1.特殊优先 2.相邻捆绑法 3.不相邻插空法 4.定序倍缩法 5.对于分堆与分配问题应注意三点 ①处理分配问题要注意先分堆再分配. ②被分配的元素是不同的. ③分堆时要注意是否均匀. 6.相同元素隔板法 7.圆形排列问题：n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中 考点一 排列组合数的计算 【例1】（2023·江西）化简计算 （1）；（2）（3） （4） 【变式】 1．（2024·河北）（多选）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024背景）已知自然数满足，则（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 4.（2023上·江西抚州）（1）求值:； （2） 解不等式:. （3）解关于x的不等式． （4）求等式中的n值． 考点二 排列 【例2-1】（2024·全国·高三专题练习）3名女生和5名男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法? (2)如果女生都不相邻，有多少种排法? (3)如果女生不站两端，有多少种排法? (4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法? (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法? 【例2-2】（2023北京）用0、1、2、3、4五个数字． (1)可组成多少个五位数？ (2)可组成多少个无重复数字的五位数？ (3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？ (4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？ (5)组成没有重复数字的五位数，将这些数字由小到大排列，42130是第几个数？ 【变式】 1.（2023广东潮州）用0，1，2，3，4五个数字． (1)可组成多少个五位数； (2)可组成多少个无重复数字的五位数； (3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数； (4)可组成多少个无重复数字的五位奇数． (5)可以排成多少个不重复的能被2整除的五位数？ (6)可以排成多少个四位数？ (7)可以排成多少个四位数字的电话号码？ 2．（2023湖北）名同学，其中名男同学，名女同学： （1）站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？ （3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？ （4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多 少种不同的排法？ （6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ （7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ （8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？ （9）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起. （10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ （11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？ （12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻