专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题05.特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分） 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。 例1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 例2．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 例3．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点． （1） °；（2）的最小值为 ．    例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例5．（2022·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 课后专项训练 1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 3．（2023春·广东·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____． 4．（2023上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 5．（2023·广东·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________． 6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 7. （2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 。 8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ． 9．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 10．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__