2024年苏科版九年级中考提优几何模型5：半角模型（旋转构造全等模型）

冲刺中考 中考提优几何模型五 半角模型、旋转模型 （旋转构造全等） 几何专题五：半角模型、旋转模型 模型一：半角模型 模型概述： 如图① ∠2=∠AOB OA=OB 如图②连接FB，将△FOB绕点O旋转至 △FOA的位置，连接FE、FE 可得△OEF≌△OEF′ 模型分解： (1)等腰直角三角形中的半角模型 （2）正方形中的半角模型 （3）120°角中的60°半角模型 典型例题 例1.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，M，N分别是BC上的两点，若BM=3,MN=5，NC=4，则∠MAN的度数为（ ）. A.32° B. 45° C.60° D.75° 例2：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=60°，若BM=2，CN=4，则MN的长为 . 例3：如图，已知在正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N. （1） 求证：BM+DN=MN； （2） 作AH⊥MN于点H.求证：AH=AB. 模型二：旋转模型 自旋转模型：有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等. ① 60°自旋转模型 ②90°自旋转模型 ③等腰三角形自旋转模型 ④中点旋转模型（倍长中线模型） 共旋转模型 ①等边三角形共顶点旋转模型 ②正方形共顶点旋转模型 典型例题 例1：如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB . 例2：如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（  ） A． B． C． D． 例3：如图，O是正三角形ABC内的一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段OB以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BOA可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与点O′的距离为4；③∠AOB=150°；④⑤.其中正确的结论是（ ）. A.①②③⑤ B.①②③④ C.①②③④⑤ D.①②③④ 作业训练 1.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°，③BE+DC＝DE；④∠ADC+∠AFE＝180°．其中结论正确的序号为（  ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AM=AN B．∠AMN=∠ANM C．CA平分∠BCN D．MN⊥AC 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是(3，4)，把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A′B′C′，则点A′的坐标为（    ） A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4) 4.如图，P是正方形ABCD内一点，若PA：PB：PC=1:2:3，则∠APB= . 6.如图，四边形ABCD，AB＝3，AC＝2，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时发现点A、C、E恰好在一条直线上，则AD的长为__________. 7．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，连接BD，若AB=2，，则BC的长为______． 8.如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，BD的长为 . 9.如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． (1)求证：EF＝BC； (2)若∠ABC=63°，∠ACB=25°，求∠FGC的度数． 10.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE+DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝　　，连接AG； （2）证明：