【深圳市初中数学微课】“将军饮马”问题（北师大版七下5.4，执教者：前海学校 罗仕华）

“微课”教学设计模板 授课教师姓名 罗仕华 微课名称 “将军饮马”问题 知识点来源 □学科：数学 □年级： 七年级 □教材版本：北师大版 □所属章节：第五章 轴对称 录制工具和方法 录屏软件 设计思路 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边” ）问题． 教学设计 内 容 教学目的 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 教学重点难点 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．（或“三角形两边之和大于第三边”问题） 教学过程 一、引入 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。 一位将军要从A地出发到河边 （如下图）去饮马，然后再回到驻地B。问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 分析与解 ：这就是著名的“将军饮马问题”。在河边饮马的地点有许多处，把这些地点与A、B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和。现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的那个点来。 实际问题 数学模型： 这是一个实际问题, 我们将A，B 两地抽象为两个点A、B，将河 抽象为一条直线 ，那么就变成数学问题 ： 如图：A，B在直线 的同侧，在直线 上求一点C，使得CA+CB最小． 问：怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 上的点？ 设点C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？（如图）． 二、探索： 为了解决上面的问题，我们先看： 1、如图：当A、B在直线 的两侧（异侧）时，在 上求一点C，使得CA+CB最小． 问：动点C应该在什么位置？确定C点的理由是？ 2、如图：当A、B在直线 的同侧，在直线 上求一点C，使得CA+CB最小． 问：对比问题2与问题1，如何将点B“移”到 的另一侧B′处，使得直线 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ （我们可以利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′） 作法： （1）作点B 关于直线 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线 相交 于点C．则点C 即为所求． C B′ 3.我们怎样用所学的知识证明AC +BC最短呢？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 即　AC +BC 最短． 问1：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ （答：若直线 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小）． 问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ （答：我们是利用轴对称的知识，并借助三角形两边之和大于第三边来解决问题的） 类比迁移 友情链接 (08年深圳中考填空压轴题） 要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是 B A l B . A . A . B . A . B . B . A . — 1 — $$