专题12 全等三角形模型之手拉手模型全攻略-【B卷常考模型】2023-2024学年四川成都七年级数学下学期题型全攻略（北师大版）

专题12 全等三角形模型之手拉手模型全攻略 【模型说明】 【例题精讲】 例1（等边三角形）如图，已知三点共线，分别以为边作等边和等边，连接分别与交于与的交点为． （1）求证：； （2）求度数； （3）连接，求证： 例2．（等腰直角三角形）如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．    (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 例3．（等腰三角形）问题情境： 在自习课上，小雪拿来了如下一道题目（原问题）和合作学习小组的同学们交流，如图①，△ACB和△∠CDE均为等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．点A、D、E在同一条直线上，连接BE．求证：∠CDE=∠BCE+∠CBE． 问题发现： 小华说：我做过一道类似的题目：如图②，△ACB和△CDE均为等边三角形，其他条件不变，求∠AEB的度数． （1）请聪明的你完成小雪的题目要求并直接写出小华的题目要求． 拓展研究： （2）如图③，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CF为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CF、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 例4．（拓展）如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 例5．（培优综合）已知，在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），以为边作正方形，连接． （1）如图①，当点在线段上时，求证． （2）如图②，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系． （3）如图③，当点在线段的反向延长线上，且点，分别在直线的两侧时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系． 【课后训练】 1．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= ． 2．在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 3．在中，，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE． （1）如图（1），若点D在线段BC上，和之间有怎样的数量关系？（不必说明理由） （2）若，当点D在射线BC上移动时，如图（2），和之间有怎样的数量关系？说明理由． 4．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长． 5．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连结AD、BE交于点P． （1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系： ． （2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE． 6．如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CE与AB相交于点D，且BE⊥CE，AF⊥CE，垂足分别为点E，F． （1）若AF=5，BE=2，求EF的长； （2）如图2，取AB的中点G，连接FG，EG，求证：FG=EG． 7．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中，，，则． 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． （1）如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为_________． （2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明． （3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直