专题10 全等三角形模型之截长补短法全攻略-【B卷常考模型】2023-2024学年四川成都七年级数学下学期题型全攻略（北师大版）

专题10 全等三角形模型之截长补短法全攻略 【模型说明】 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。 如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF， 可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°， ∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG. ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。 如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）， 可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°， 又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 【例题精讲】 例1．（基本模型）（2023下·四川成都·七年级统考期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．    (1)若线段，求线段的长； (2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接． ①是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段的数量关系，并说明理由． 例2．（拓展1）（2022下·四川成都·七年级树德中学校考期中）（1）【思维提示】在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），点E、F分别在上，且，延长至G，使得，若，请计算的长度．小明发现根据条件可证出，可得到，又和同学讨论发现，利用SAS又可证出，就能解决上述问题．那么 ； （2）【拓展应用】如图2，在四边形中，，．，点E、F分别在边上，且，请你观察（1）中的结果，猜想图2中线段之间的数量关系 ，并给出证明． （3）【实际应用】图3是2022年成都大运村道路修建工程平面示意图，指挥中心设在O处，甲道路的起点在指挥中心北偏东的A处，乙道路的起点在指挥中心南偏东的B处，且A、B两处分别到指挥中心O的距离相等；已知甲道路是从A处开始沿正东方向修建，乙道路是从B处开始沿北偏东方向修建，当两道路同时开工六天时，分别修建到C、D处，经测量，若甲、乙两道路的修建速度分别是每天120米、160米，请直接写出C与D两处之间的距离为 米． 例3．（拓展2）（2023下·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）已知在中，点，分别是边，上的动点，连接、交于点．      (1)如图1，在等边中，，求证：； (2)如图2，在中，若，，且，，求的度数； (3)如图3，在等边中，且，在平面内将线段绕点顺时针方向度转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，请直接写出线段，，之间存在的数量关系． 例4．（培优综合1）（2023下·四川成都·七年级统考期末）已知等腰中，，点D在射线上，连接，在右侧作等腰，且    (1)如图1，若平分，延长、交于点F，求证：； (2)如图2，点M为的中点，求证：点M在线段的垂直平分线上； (3)如图3，射线与射线交于点G，若，求的度数． 例5．（培优综合2）（2022下·四川成都·七年级校考期中）如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、． (1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______； (2)如图，当点在射线的反向延长线上时， 若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明； 若，且，，求的值． 【课后训练】 1．（2023下·四川成都·七年级成都市树德实验中学校考期中）已知，在中，，．    (1)猜想按角分类的类型，并证明你的结论； (2)如图1，若点是线段上一点，连接，过点作于点，若．求的度数； (3)如图2，若点是线段上一点，且，过点作，，连接交于点．求值为多少？ 2．（2022下·四川成都·七年级统考期末）如图，已知是等边三角形． (1)如图1，D是上一点，以为边作等边，连接，求证：； (2)在（1）的条件下，于F，若，求的长； (3)如图2，为穿越的一条射线，点P是点C关于的对称点，连接并延长交于Q，连接．已知，观察、猜测并证明，，之间的关系． 3．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图1，在中，于D，于E，与相交于点G，．        (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)如图2，平分，点为的延长线一点，为上一点，连接，若，，，求线段的长． 4．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，向外作和等边，连接．    (1)如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点． ①试猜想、的关系，并说明理由； ②连接，问是否平分，为什么？ (2)如图2，当是直角三角形（）时，若，． 求证：． 5．（2021下·四川成都·七年级统考期末）（1）问题引入：如图1，