专题09 全等三角形模型之倍长中线法全攻略-【B卷常考模型】2023-2024学年四川成都七年级数学下学期题型全攻略（北师大版）

专题09 全等三角形模型之倍长中线法全攻略 【模型说明】 思路：遇到中点，优先考虑将其中线延长，构造全等三角形进行边角转化解决问题 【例题精讲】 例1．（基本模型）【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．        C．        D． (2)探究得出的取值范围___________． A．        B．        C．        D． 【问题解决】 (3)如图2，在中，，，是的中线，求证：． 例2．（模型拓展）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N， (1)如图，若∠BAC＝90°，求证：AM＝EG，AM⊥EG； (2)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由； 例3．（培优综合1）如图，在中，,,分别为,边上的高，连接,过点作与点，为中点，连接，． （1）如图，若点与点重合，求证：； （2）如图，请写出与之间的关系并证明． 例4．（培优综合2）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　； （2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明． 【变式训练1】．在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，于点M．于点N，连接． (1)如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长交于点 E．求证：； (2)若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点在直线a的同侧，其它条件不变，此时，，求MN的长度． (3)若过P点作于点G，试探究线段 和的数量关系． 【变式训练2】．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 【课后训练】 1．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 2．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 ． 3．如图，已知，点是的中点，且，求证：． 4．如图所示，为的角平分线，分别在上，，若． 求证：． 5．如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接） 6．如图，为的中线，在上，交于，且．求证：． 7．（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．    8．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长，使，连接．根据__________可以判定≌__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接