1.3解直角三角形 教学设计 2023-2024学年浙教版九年级数学下册

《1.3解直角三角形》教学设计 教学内容分析 本节课是在学习解直角三角形之后，结合已学过的勾股定理，利用解直角三角形解坡度、坡角等问题，旨在进一步梳理解直角三角形的方法，并通过例题展示利用解直角三角形知识解决与直角三角形有关的一些边角计算问题. 学习者分析 学习本节课之前，学生已经知道直角三角形三角关系(两锐角互余),三边关系(勾股定理)和边角关系(锐角三角函数).在相关知识的学习过程中，学生已经经历了大量的解直角三角形的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了用直角三角形的有关知识解决现实问题的必要性和作用，获得了用直角三角形的有关知识解决现实问题所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 教学目标 1．经历将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决的探索过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用． 2．会将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决． 教学重点 用解直角三角形有关知识解决坡度问题 教学难点 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 教师活动1： 在修路、筑坝、开渠和挖河时，常会遇到修筑斜坡的问题. 学生活动1： 学生思考，认识斜坡问题。 活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。 环节二：新知探究 教师活动2： 修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要标明斜坡的倾斜程度. 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = . 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. 学生活动2： 老师讲解，学生通过图理解坡度，坡角问题. 活动意图说明：通过实例创设问题情景，使学生感受到数学与生活的密切联系，增进对数学的理解，激发学习数学的兴趣。 环节三：典例精析 教师活动3： 例1、水库堤坝的横断面是梯形(如下图).测得BC长为6m，CD长为60m，斜坡CD的坡比为1:2.5，斜坡AB的坡比为1:3.求: (1)斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽(角度精确到1′，宽度精确到0.1m). (2)若堤坝长150m，则建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3)？ 解：(1)如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，点E，F为垂足. 在Rt△CFD中，tanD===0.4， ∴∠D≈21°48′. ∴CF=CD×sinD=60×sin21°48′≈22.28(m)， DF=CD×cosD=60×cos21°48′≈55.71(m). ∵=， ∴AE=3BE=3CF=66.84(m)， ∴AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF=66.84+6+55.71 =128.55≈128.6(m). (2)横断面的面积S=(BC+AD)×CF =(6+128.55)×22.28 ≈1498.9(m2)， 需要土石方V=Sl=1498.9×150=224835(m³). 答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m， 建造这个大坝需用土石方约为224835 m³. 例2、体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m．在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程．已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）？ 解：如图，连结AB. 由题意，得=45m，OB=36.3m. 设∠AOB=n°， 由弧长公式l=，可以得到 n==. 作OC⊥AB于点C. ∵ OA=OB，∴AC=BC，∠AOC=∠AOB=n°. ∴ AB=2AC=2OAsin∠AOC =2×36.3×sin()°≈42.2(m). 答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m. 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 学生活动3： 学生通过计算给出答案，教师通过多媒体展示具体求解过程 活动意图说明：通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。 板书设计 1、 坡角、坡度(或坡比)： 坡面与水平线的夹角(α)叫做坡角，坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡度(或坡比