14.3因式分解的八种常用方法课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

因式分解的八种常用方法 专项训练 八年级数学（上）专项训练 例 典 例 剖 析 分解因式： (1)x4＋4；　　　(2)3y3－4y＋1. 解题秘方：分解因式时，当多项式无法直接分解时，则需采用“拆、添”项法，使拆、添项后能用提公因式法或公式法．本例(1)中的多项式只有两项，既没有公因式又不能运用公式法分解因式，但它是两个数的平方和的形式，这时若能添加一项，使之与原来的两项运用完全平方公式分解，再与添加的项的相反数继续分解，可达到目的；(2)中可把－4y拆成－3y和－y，再分别与3y3和1分组后，可分解因式． 解：x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x4＋4x2＋4)－4x2 ＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)． (1)x4＋4；　　　 (2)3y3－4y＋1. 3y3－4y＋1＝3y3－3y－y＋1＝(3y3－3y)－(y－1) ＝3y(y2－1)－(y－1)＝3y(y＋1)(y－1)－(y－1) ＝(y－1)[3y(y＋1)－1]＝(y－1)(3y2＋3y－1)． 方法 1 提公因式法 1．把下列各式分解因式： (1)2x2－xy； (2)－4m4n＋16m3n－28m2n； (3)xn＋2－2xn－1. 解：原式＝x(2x－y)； 原式＝－4m2n(m2－4m＋7)； 原式＝xn－1(x3－2)． 2．把下列各式分解因式： (1)a(b－c)＋c－b； (2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2. 解：原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)． 原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)． 【点拨】 将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化． 3．把下列各式分解因式： (1)2x(2x＋4y)－4x(2x－y)； (2)3(a＋b)(2a＋b＋4)＋(a＋b)(b－2a－8)． 解：原式＝2x(2x＋4y－4x＋2y)＝2x(6y－2x) ＝4x(3y－x)； 原式＝(a＋b)(6a＋3b＋12＋b－2a－8) ＝(a＋b)(4b＋4a＋4)＝4(a＋b)(a＋b＋1)． 4．把下列各式分解因式： (1)－16＋x4y4； 解：原式＝x4y4－16 ＝(x2y2＋4)(x2y2－4) ＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)； 方法 2 公式法 (2)(x2＋y2)2－4x2y2； (3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81. 解：原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2； 原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4. 【点方法】 因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)就结束了． 5．把下列各式分解因式： (1)(x－1)＋b2(1－x)； (2)－3x7＋24x5－48x3. 解：原式＝(x－1)－b2(x－1) ＝(x－1)(1－b2)＝(x－1)(1＋b)(1－b)； 原式＝－3x3(x4－8x2＋16) ＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2. 6．分解因式： (1)(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)； (2)(x＋3)(3x＋2)－9x2＋4. 解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x＋3)(2x＋1)； 原式＝(x＋3)(3x＋2)－(9x2－4) ＝(x＋3)(3x＋2)－(3x＋2)(3x－2) ＝(3x＋2)(x＋3－3x＋2)＝(3x＋2)(－2x＋5)． 【点方法】 解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解． 7．把下列各式分解因式： (1)x(x＋4)＋4； (2)4x(y－x)－y2. 解：原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2； 原式＝4xy－4x2－y2 ＝－(4x2－4xy＋y2) ＝－(2x－y)2. 【点拨】 通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法因式分解． 8．把下列各式分解因式： (1)m2－mn＋mx－nx； (2)4－x2＋2xy－y2. 解：原式＝(m2－mn)＋(mx－nx) ＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)； 方法 3 分组分解法 原式＝4－(x2－2xy＋y2) ＝22－(x－y)2＝(2＋x－y)(2－x＋y)． 方法 4 拆、添项法 【点方法】 此题直接分解因式很困难，考虑添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解． 10．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－