第三章 因式分解（压轴题专练）-2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第三章 因式分解（压轴题专练） 一、选择题 1．（2022·江苏·七年级假期作业）在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　） A．45 B．63 C．54 D．不确定 2．（2019下·浙江绍兴·七年级统考期末）已知，，，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2018上·山东·八年级校考期末）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2021下·湖南株洲·七年级统考期中）已知满足，则的值为（        ） A．1 B．－5 C．－6 D．－7 5．（2021上·重庆万州·八年级统考期末）已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 二、填空题 6．（2024上·四川内江·八年级校考期中）设为正整数，且，则等于 ． 7．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最大的“倍差等和数”为 ，将“倍差等和数”的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和的个位数字之差能整除，令，若为整数，则满足条件的数的最小值为 ． 8．（2021·浙江·九年级自主招生）已知，则 ． 9．（2019下·河北唐山·七年级统考期末）计算： . 10．（2023下·浙江宁波·七年级宁波市海曙外国语学校校考期中）已知，为自然数，且，若，则 ， ． 11．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知，且互不相等，则 ． 12．（2014·七年级课时练习）如果为完全平方数，则正整数n为 ． 13．（2018上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）已知， 则 ． 14．（2018上·上海杨浦·七年级校考期末）若a, b, c 满足，则 15．（2015·福建泉州·统考一模）已知：，且则 ． 三、解答题 16．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 17．（2020上·福建泉州·八年级统考期中）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 18．（2018上·湖南长沙·七年级统考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果： 例：分解因式： 解：如图1，其中，，而 所以 而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式 例：分解因式 解：如图3，其中，， 而，， 所以 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）分解因式：① ． ② ． （2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．