第十二章 复数（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第十二章　复数（知识归纳+题型突破） 1.了解数系的扩充过程，理解复数的概念． 2.理解复数的分类． 3.掌握复数相等的充要条件及其应用． 4.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则． 5.掌握复数乘法运算，能够进行复数的乘法运算． 6.理解共轭复数的概念． 7.理解复数乘法的运算律． 8.掌握复数乘方的运算律，并会进行乘方运算． 9.掌握复数除法运算的运算法则，能够进行复数的除法运算． 10.了解复平面的概念． 11.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系． 12.掌握复数的模的概念，会求复数的模． 13.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义． 14.正确理解复数的三角形式的意义． 15.明确复数代数形式和三角形式之间的相互关系，并能初步进行二者之间的相互转化． 16.掌握三角形式的乘除法的运算． 1．复数的有关概念 (1)虚数单位：引入一个新数i，叫作虚数单位； 其中：i2＝－1；实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． (2)复数 ①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数． ②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部． (3)复数集 ①定义：全体复数所组成的集合叫作复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． (4)复数集的组成： 复数集由实数集和虚数集构成． 2．复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复数bi(b∈R)不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi(b∈R)才是纯虚数． 3．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0． 4．复数加、减法的运算法则 (1)加、减法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． (2)加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C， ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 5．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (2)复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 6．共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数．z的共轭复数用表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi． 7．复数乘方的运算律 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有 zmzn＝zm＋n；(zm)n＝zmn；(z1z2)n＝zz． (1)复数的乘方运算与多项式乘方运算很类似，可仿照多项式乘方运算进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1). (2)一般地，如果n∈N*，那么：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 8．复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)， 则＝＝＋i(c＋di≠0). 9．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 10．复数的两种几何意义 11．复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝． 12．复数加、减法的几何意义 如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是Z2Z1． 13．辐角与辐角主值 如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角． 任一非零的复数z＝a＋bi的辐角有无限个值，任意两个辐角之间相差2π的整数倍，适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi的辐角主值，记作arg z；即0≤arg z<2π. 14．复数的三角形式 复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复数的模r和辅角θ来表示：z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝.r(cos θ＋isin θ)称为复数 z的三角形式．而a＋bi称为复数z的代数形式． 15．辐角三角形式的乘除法 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z