第9章 整式乘法与因式分解（知识归纳+10题型突破）-2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第9章 整式乘法与因式分解（知识归纳+10题型突破） 1.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 知识点一、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点二、乘法公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点三、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次. 【考点一 计算单项式与多项式相乘】 例题：（2023下·全国·七年级专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用多项式乘多项式法则，再合并同类项； （2）先利用多项式乘多项式法则，再合并同类项； （3）先利用多项式乘多项式法则作乘法，再加减． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）直接利用单项式乘以单项式计算可得结果； （2）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可； （3）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可； （4）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果； （5）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可； （6）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可； （7）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果； （8）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 【点睛】本题考查单项式与单项式相乘，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 2．（2023上·八年级课时练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)；