专题1.6 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题1.6 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形之三大类型 目录 【典型例题】 1 【类型一 共顶点的等边三角形】 1 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 9 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 17 【典型例题】 【类型一 共顶点的等边三角形】 例题：（2023上·河南周口·八年级河南省淮阳中学校考阶段练习）（1）如图1，都是等边三角形，连接，其中与相等的角是___________． （2）如图2，已知A是线段上一点，在的同侧分别作等边与等边，连接，交点为M，与交于点P，与交于点Q，连接，则下列结论正确的是___________．（填写序号即可） ①   ②   ③是等边三角形   ④ （3）如图3，已知点A在直线外，分别作等边与等边，连接，交点为M，与交于点P，与交于点Q，连接． ①求证：． ②求证：平分． 【变式训练】 1．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，和均是等边三角形，E，F分别是上的两个动点，且满足． (1)求证：． (2)判断的形状，并证明． 2．（2023下·辽宁丹东·八年级统考期末）如图1，为等边三角形，在AB、AC上分别取点E、D，使，连接DE．    (1)求证：是等边三角形． (2)点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，当绕A点旋转到如图2的位置时，求的度数． (3)在（2）条件下，若，，，求AN的长． 3．（2023上·山西·八年级校联考期中）已知是等边三角形，为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形． (1)如图1，当点在边上时，连接，此时，，之间的数量关系为______，______； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程； (3)如图3，当点在射线上运动时，取的中点，连接，当的值最小时，请直接写出的度数． 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）和△ADE都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点D、E在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明） (2)如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE． （1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．      3．（2023上·辽宁大连·九年级校考期中）综合与实践： 数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角和等腰直角，，，，连接，，如图1． 独立思考： （1）如图1，求证：； 实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答： （2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，． ①求的度数； ②线段与线段交于点F，求的值； ③若，求的值． 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边BC上的高AH叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”，若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）； (2)如图1，与互为“底余等腰三角形”，当时，若的“余高”是． ①请用直尺和圆规作出；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长． 【变式训练】 1．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）以的、为边作和，且，，与相交于M，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，连接，则________， ________；（都用含的代数式表示） (3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数． 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“