专题1.5 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题1.5 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线与构造等腰三角形之六大考点 目录 【典型例题】 1 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 6 【考点三 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 12 【考点四 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 17 【考点五 巧用“角平分线+垂线”合一构造等腰三角形】 25 【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】 31 【典型例题】 【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在中，，，D为的中点，于E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，中，，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且．求证：． 2．（2023上·北京·八年级期末）如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证： (1)； (2)． 3．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知中，，，点D为的中点，点、分别在直线上运动，且始终保持． (1)如图①，若点分别在线段上，与相等且与垂直吗？请说明理由； (2)如图②，若点分别在线段的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由． 【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】 例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．    【变式训练】 1．（2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，四边形中，，，求四边形的面积． 2．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）在中，，，点D在上（不与点B，C重合）．    (1)如图1，若是直角三角形， ①当时，求的长； ②当时，求的长． (2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且．若，求证：． 3．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在中，点是边上的两点．    (1)如图1，若，．求证：； (2)如图2，若，，设，． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，，请直接写出的度数． 【考点三 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在中，平分，，是的中点．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在中，的平分线交于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 2．（2023上·全国·八年级期末）如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．    (1)当，则___________； (2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由． 3．（2023上·吉林松原·八年级校考期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形． (1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分的形状是_______． (2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交于点，试探究线段之间的数量关系并说明理由； (3)【拓展提升】如图4，四边形中，为边的中点，平分，连接，求证：． 【考点四 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【感知】如图1，当点E为的中点时，则线段与的数量关系是______； (2)【类比】如图2，当点E为边上任意一点时，则线段与的数量关系是______，请说明理由；（提示如下：过点E作，交于点F．） (3)【拓展】在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，则的长是______． 2．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A