6.4.3.2 正弦定理（导学教材+考点精析+反馈测试）-2023-2024学年下学期寒假自修高一数学《导学·突破·强化》导学案2019人教A版第二册

6.4.3正弦定理 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系； 2.掌握正弦定理及其推导； 3.利用正弦定理求解三角形的边、角等问题． 重点：利用正弦定理求解三角形的边、角等问题； 难点：正弦定理的推导 阅读课本内容，自主完成下列内容。 探究1：直角三角形△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为用a， b，c表示，怎样用a， b，c表示角A，B，C的正弦？ 追问1：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ 我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究： 知识点一 正弦定理 正弦定理（law of sines） 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即 正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 1.在△ABC中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 探究2 在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？ ． 知识点二 正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (4)＝2R. (1)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径． (2)正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广，它的主要功能是实现三角形中的边角互化． (3)通过正弦定理可“知三求一” 2.已知△ABC外接圆的半径为1，则a∶sin A=（    ） A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．无法确定 3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　) A．　B．C． D． 探究3 已知在△ABC中已知边a,b和角C，能否用a,b，C表示三角形的面积？ 【答案】分△ABC为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三种情况讨论，可求得边b上的高，进而可求得 知识点三 三角形的面积公式 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则 考点1　已知两角及一边解三角形 例1在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． 　 【对点演练1】（2023上·宁夏石嘴山三中期中）在△ABC中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【对点演练2】（2023上·内蒙古通辽校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 【对点演练3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，sin (A＋B)＝，sin A＝，则c＝(　　) A．4 B．3 C． D． 考点2　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2．（2023上·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）已知中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【对点演练1】（2022下·山东烟台·高一统考期末）在中，，，，则角等于 A．或 B． C． D． 【对点演练2】在中，已知，，，则角的值为（） A．或 B． C． D．或 考点3　三角形解的个数问题 例3（1）（2024·全国高一专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 （2）（2023上·北京大兴·高三统考期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点演练1】（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在中，，，，满足条件的（    ） A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在 【对点演练2】（2023上·上海嘉定·高三校考期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点4　判断三角形的形状 例4．（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）在中，若 ，则该三角形的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【对点演练1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C