15.3分式方程　讲义　2023—2024学年人教版数学八年级上册

15.3分式方程 【新手目标】 1． 了解分式的概念，使学生能够求出分式有意义的条件，明确分母不得为零是分式概念的组成部分. 2．掌握分式方程的解法及化归思想.理解分式方程必须验根的原因. 3.会分析题意找出等量关系. 4.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 关卡3-1 分式方程 ★★★★☆☆ 【过关笔记】 一、概念 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.三要素：A方程；B方程里含有分母；C分母里含有未知数。 二、解分式方程的一般步骤 1.去分母(在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母，化成整式方程). 2.解这个整式方程. 3.检验(把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根，必须舍去). 简记成：一化二解三检验 三、增根、无解 【成长例题】 例题1下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 例题2（2020·统考）解分式方程： （1）； （2）2． （3）． （4） 例题3若分式方程=2的一个解是x=1，则a= 例题4若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为 ． 例题5当m为何值时，关于x的方程无解？ 例题6关于x的方式方程的解是正数，则m可能是 . 【过关练习】 练习1下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 练习2解分式方程（1）； （2）． 练习3若关于x的方程的解为非负数，则实数m的取值范围． 练习4已知：关于x的分式方程 （1）若方程有增根，求a的值． （2）若方程无解，求a的值． 关卡3-2 分式方程应用题 ★★★★★☆ 【过关笔记】 1.列方程解决实际问题的方法和步骤：审 设 找 列 解 验 答 2.解分式方程应用题必须双检验： （1）检验方程的解是否是原方程的解； （2）检验方程的解是否符合题意. 【成长例题】 例题1工程问题 为巩固某市援藏米林县2019年脱贫攻坚成果，该市决定对米林县内一段公路进行改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程比甲工程队单独完成此项工程多5天，若甲工程队先施工5天后，甲、乙两工程队再合作只需3天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）市政府决定由甲、乙共同完成此项工程，若甲工程队每天的工程费用是3.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，在总预算不超过32万元的前提下，请问甲工程队至多工作多少天？ 例题2行程问题 小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． （1）求小李步行的速度和骑自行车的速度； （2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？ 例题3销售问题 例题3-1（2021·鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是 　 　． 例题3-2某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元． （1）求一件A种纪念品、一件B种纪念品的进价各是多少元？ （2）老板花费480元购进B种纪念品后，以每个20元的价格销售B种纪念品，当B种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使B种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的B种纪念品每个售价至少要多少元？ 例题4计划没有变化快 例题4-1（2020·阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．﹣＝30 B．﹣＝30 C．﹣＝30 D．﹣＝30 例题4-2（2020·锦州）某帐篷厂计划生产