15.1 分式　　讲义　2023—2024学年人教版数学八年级上册

15.1 分式★★★★☆☆ 【新手目标】 1.理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系. 分式值为0的字母的取值情况。 2.理解分式的基本性质及分式的约分、通分，灵活应用分式的基本性质将分式进行简单的变形；利用分式的符号法则，把分子或分母是多项式的分式变形。 关卡1-1 从分数到分式 ★★☆☆☆☆ 【过关笔记】 1、分式的概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有______，那么式子叫做分式。 分式中，A叫做分子，B叫做分母。 2、分式有意义、无意义的条件 1.分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母___________， 即当B≠0时，分式才有意义。 2.分式无意义的条件：分母的值_______，即当B=0时，分式无意义。 3、分式值的讨论 对于分式：（1）若的值为0，则A=0且B≠0； （2）若的值为正数，则A>0且B>0,或A<0且B<0； （3）若的值为负数，则A>0且B<0，或A<0且B>0； （4）若的值为1，则A=B且B不等于0； （5）若的值为-1，则A+B=0且B≠0。 【成长例题】 例题1下列各式（1﹣x），，，+x，，其中分式共有（ ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 例题2-1x取何值时，下列分式有意义： （1） （2） （3） 例题2-2若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 例题3-1 (1)（2020·统考·期末）若分式的值为0，则x的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．≠±3 (2)（2020·统考·期末）分式的值为零，则x的值为（ 　 ） A．﹣1 B．0 C．±1 D．1 例题3-2x为何值时，分式的值为正数？ 例题3-3已知分式，根据给出的条件，求解下列问题： （1）当时，分式的值为0，求的值； （2）如果求分式的值。 例题4问题：当a为何值时，分式无意义？ 小明是这样解答的：解：因为，由a-3=0，得a=3，所以当a=3时，分式无意义． 你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因． 【过关练习】 练习1-1下列式子是分式的是（ ） A． B． C． D． 练习1-2下列各式：① ②（x+y） ③ ④是分式的有 练习2-1当x = 时，分式无意义；当x= 时，值为0． 练习2-2使式子有意义的x的取值范围是（ ）. A．x≤1 B．x≤1且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜1且x≠﹣2 练习2-3若分式﹣的值为正，则a的取值范围是 ． 若分式的值为负数，则x应满足 ． 练习2-4若分式无论x取何值都有意义，则m的取值范围是 关卡1-2 分式的基本性质 ★★★★☆☆ 【过关笔记】 1、分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示为：=，=（其中A，B，C都是整式，且B≠0，C≠0）。 2.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变任意两个，分式的值不变。 用式子表示为：==-=-或—。 2、分式的系数化整问题 利用分式的基本性质，将分子、分母都乘一个适当的不等于0的数，使分子、分母中的系数都化成整数。步骤可归纳为： 第一步：找出分子、分母中的各项的系数，确定使系数化成整数的最小正整数； 第二部：分子、分母同时成这个最小正整数。 3、分式的约分 1.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的理论依据是分式的基本性质。 2.约分方法：分式的分子、分母同时除以它们的公因式。如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数与分子、分母的相同字母的最低次幂的乘积；如果分子、分母都是多项式，就先把它们分解因式，再判断公因式并约去。 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 4、分式的通分 1.概念：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式通分的理论依据是分式的基本性质。 通分时不仅是化为同分母分式，而且每个分式都要和原分式相等，不要只针对分母变形，分子也要随之变形。 2.最简公分母：异分母分式通分时，一般去个分母的所有隐私的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分