专题15 二次函数的图像与性质【十大题型】-2024年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

专题15 二次函数的图像与性质【十大题型】 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 3 【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】 4 【题型3 二次函数平移变换问题】 5 【题型4 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 6 【题型5 根据二次函数的性质求最值】 6 【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 7 【题型7 根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】 7 【题型8 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 8 【题型9 二次函数图象与各项系数符号】 8 【题型10 二次函数与三角形相结合的应用方法】 11 【知识点 二次函数的图像与性质】 1.定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 3.二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 4.二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 2.b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3.c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 5.二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 【例1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 【变式1-1】（2023·四川乐山·统考模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，函数的最大值是 C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 【变式1-2】（2023·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．