专题7.3 复数的三角表示【六大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题7.3 复数的三角表示【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 复数的三角表示】 2 【题型2 求辅角主值】 4 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 5 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 7 【题型5 三角形式下的复数的乘、除运算】 11 【题型6 复数乘、除运算的几何意义的应用】 12 【知识点1 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 +2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型1 复数的三角表示】 【例1】（2023下·江苏苏州·高一统考期中）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023下·广东广州·高一校考期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【变式1-3】（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．为虚数 B．函数不是周期函数 C．若，则 D．的共轭复数是 【题型2 求辅角主值】 【例2】（2023下·福建厦门·高一校考期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·高一课时练习）的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·高一单元测试）设复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角表示下复数的乘方与开方】 【例3】（2023·全国·高一专题练习）计算（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·高一课时练习）计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023下·全国·高一专题练习）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型4 复数的代数形式与三角形式的互化】 【例4】（2023下·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】（2023·全国·高一随堂练习）把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)． 【变式4-2】（2023·全国·高一随堂练习）把下列复数表示成三角形式； (1)