（奥数典型题）第三讲 圆锥的体积 （培优讲义）2023-2024学年六年级下册数学思维拓展培优讲义（人教版）

第三讲 圆锥的体积 板块一：趣味数学 巧算谷垛体积 亮亮是个肯动脑、爱学习的好孩子。星期六,爸爸带亮亮去乡下的爷爷家玩,正好赶上收谷子的时候,整个打谷场上到处都是一堆一堆的稻谷垛。 亮亮感到很新鲜,拉着爸爸的手,绕着这些谷垛走了一圈又一圈,听爸爸讲小时候打谷子的故事。走到一个谷垛前,爸爸突然问:“亮亮,你看看,这个谷垛是什么形状的啊?”“这个谷垛啊,上头尖,下面圆,好像是……”亮亮想了想,叫道,“对了,几何课上老师讲过,这种叫做圆锥体。” 爸爸接着又问“那你还记得圆锥体的体积计算公式吗?亮亮眨眨眼,说:“当然记得了,圆锥体的体积,等于π乘底面圆的半径的平方,再乘高,最后除以3。” “不错不错”爸爸称赞道,又指着旁边另外一个谷垛,说,“那你知道这个谷垛的体积怎么计算吗?亮亮仔细一看,奇怪啊,别的谷垛的顶上都是尖的，这个谷垛的顶上怎么是平平的呢?这是什么形状啊?他只好说:“我没学过这种形状的体积公式。” 爸爸笑了,说:“傻小子,你都学过圆锥了。你看看,这个谷垛本来应该是个圆锥体的,可是现在,它的顶部被横着削了一刀,可削去的还是个圆锥啊。”“啊,我明白了!”亮亮说,“那就是大圆锥的体积减去小圆锥的体积了,对不对?” “哈哈，儒子可教!这种形状叫做圆台,计算它的体积,就是通过圆锥体积相减得到的。” 板块二：知识精讲 1．圆锥的特征 【知识点归纳】 圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面． 2．圆锥的体积 【知识点归纳】 圆锥体积＝×底面积×高，用字母表示： V＝Sh＝πr2h，（S表示底面积，h表示高）声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发 板块三：典例好题 例题1．如图是一个等腰直角三角形，将这个三角形以直角边AB为轴旋转一周，得到一个圆锥．圆锥的高和底面直径分别是多少厘米？ 【分析】如果以直角边AB为轴旋转一周，得到的是一个高为5cm，底面半径为5cm的圆锥，这个圆锥的底面直径是5×2＝10（cm）． 【解答】解：如果以直角边AB为轴旋转一周， 得到的是一个高为5cm，底面半径为5cm的圆锥， 这个圆锥的底面直径是： 5×2＝10（cm） 答：圆锥的高是5cm，底面直径是10cm． 【点评】直角三形绕一直角边旋转一周可得到一个以旋转的直角边为旋转轴，另一直角边为底面半径的圆锥． 练习1 1．如图，在直角三角形ABC中，以AC所在的直线为轴旋转一周． （1）可以得到一个什么图形？这个图形的高是多少？ （2）它的底面周长是多少？ 2．如今自带帐篷旅游越来越受人们欢迎。如图，一种近似圆锥形帐篷的底面直径是5m，高是2.4m，这种圆锥形帐篷占地面积是多少？ 3．将一个圆锥形纸筒沿一边剪开并展开（如图），已知圆锥的底面半径是5cm，它的底面周长是多少厘米？底面积是多少平方厘米？ 例题2．如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 （2） 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 （2）因为等底等等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【解答】解：（1）3.14×32×6÷1.57 ＝3.14×9×6÷1.57 ＝56.52÷1.57 ＝36（分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）6×＝2（厘米） 答：圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 练习2： 1.一个圆柱形铁块的底面半径是10cm，高是3cm，把它熔铸成一个底面积是 628cm2的圆锥形铁块，圆锥的高是多少厘米？ 2.把一个底面周长是6.28dm，高是6dm的圆柱形钢材，熔铸改造成了一个圆锥，这个圆锥的底面积是15.7dm²，它的高是多少分米？ 3.．工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥（如图）。这堆沙子的体积大约是多少？ 例题3．如图，一个圆锥的底面半径是5cm，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积增加了60cm2．这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据题意可知，把这个圆锥从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积增加了60cm2．表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高，据此可以求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答． 【解答】解：圆锥的高： 60÷2×2÷（5