1.3.1等比数列的概念及其通项公式（同步课件）(第2课时 等比数列的性质)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

1.3.1 等比数列的概念及其通项公式(第二课时) 等比数列的性质 等比数列 名称 等差数列 概念 常数 性质 通项 通项 变形 温故知新 从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零 从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零 对比记忆     二 等比数列的函数特性   单调递减 单调递增   单调递减 单调递增 不变 单调递减 单调递增 不变 单调递增 单调递减 不变   根据指数函数的单调性，分析等比数列an=a1qn-1（q>0）的单调性，填写下表. a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 {an}的单调性 非增非减 非增非减 增 增 减 减 等比数列的判定与证明 例3 在各项为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1,且 a2·a5 = . （2）试问 是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由. 等比数列的实际应用 例4 据报载，中美洲地区毁林严重.据统计，在20 世纪80年代末，每时平均毁林约48hm2,森林面积每年以 3.6％～3.9％的速度减少，迄今被毁面积已达1.3×107hm2, 目前还剩1.9×107hm2.请你回答以下几个问题： （1）如果以每时平均毁林约48hm2计算，剩下的森林经过多少年将被毁尽？ （2）根据（1）计算的年数n，如果以每年3.6％～3.9％的速度减少，计算n年后的毁林情况； （3）若按3.6％的速度减少，估算经过150年后、经过200年后、经过250年后及经过300年后森林面积的情况，经过多少年森林将被毁尽? 解 （1）如果每时平均毁林约48hm2，则每年平均毁林 48×24×365=420480（hm2） （2） 若以3.6％的速度减少，用计算器计算45年后还剩的森林面积为： 1.9×107×（1-0.036）45≈3.65×106(hm2); 若以3.9％的速度减少，45年后还剩森林面积为： 1.9×107×（1-0.039）45≈3.17×106(hm2). （3）经过150年后,还剩约7.77×104hm2;经过200年后,约剩1.24×104hm2;经过250年后,约剩1986hm2;经过300年后,约剩317hm2;经过512年后，约剩0.134hm2，森林几乎毁尽. 等比中项 与等差中项的概念类似，如果在a与b中插入一个数G， 使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义， ， G2=ab ,G＝±　　(ab>0)，我们称G为a，b的等 比中项. 在等比数列中，首末两项除外，每一项都是它前后两 项的等比中项． 注意：关于等比数列中项的理解应注意体会以下几点： (1)在a、b同号时，a、b的等比中项有两个； a、b异号时，没有等比中项； (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末 项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项； (3)“a、G、b成等比数列”等价于G 2＝ab(ab>0) ，可以用 它来判断或证明三数成等比数列． 同时还要注意到“a、G、b成等比数列”与“G＝　　”是不等价的． 等比数列中有类似性质吗？？？ 想一想 探究 在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？ a32=a1.a5是否成立? 你能得到更一般的结论吗？ 证明 要积极思考哦 且 m , n , s , t N+ ,若m+n=s+t 思考 am,an,as ,at有什么关系 若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，且 且 m , n , s , t N+ 若m+n=s+t ,则aman=asat 性质2： 探究 已知等比数列{an}首项a1, 公比q，取出数列中的所有奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？ 取出a1 , a4 , a7 , a11 …… 呢？ 性质2：在等比数列中，把序号成等差数列的项按 原序列出，构成新的数列，仍是等比数列 你能得到一般性结论吗？ 思考 (3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来顺序排列构成的数列仍为等比数列．例如am，a2m，a3m也成等比数列； (4){λan}(λ≠0)，{|an|}皆为等比数列，公比分别为________； (5)若{an}和{bn}分别是公比为q和p的等比数列，则数列{an·bn}，{ }仍是等比数列，它们的公比分