1.3.1等比数列的概念及其通项公式（同步课件）(第1课时)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

1.3.1 等比数列的概念及其通项公式(第一课时) 名称 等差数列 概念 常数 通项 通项 变形 温故知新 从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 公差d 给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？ 实列01：猜一猜： 把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！ 创设情境 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思是“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” . 如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为： 这就是我们今天所要研究的特殊数列——等比数列. 实列02：数学文化欣赏 问题：这位拉面师傅拉出的面条根数是多少？ 拉伸次数 第8次 第3次 第2次 第1次 第3次 第2次 第1次 面条根数 2 根 1 根 4 根 128根 创设情境 实例3 问题情景 你吃过拉面吗？拉面馆的师傅是怎么把一根面做成无数根面的？ 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 ① 1,2,4,8,16,32,64,128. 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都是2. （2）星火化工厂今年产值为a万元，计划在今后5年中每年比上年产值增长10％，试列出从今年起6年的产值（单位：万元）. 实例4 问题情景 第1年产值：a; 第2年产值：a+a×10﹪=a(1+10﹪); 第3年产值： a(1+10﹪)+ a(1+10﹪) ×10﹪= …… 第6年产值： 故这6年的产值构成一个数列： 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都是1+10%. 研究上述数列的特征及变化规律，可以发现什么？ 等比数列的概念 可以看出数列①，②有如下的共同特征：从第2项起，每一项与前一项的比都是与项数n无关的常数. 等比数列定义 符号语言： 或 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 来表示. 抽象概括 数列 是等比数列吗?为什么？ 思考： 等比数列中，各项不能为零，公比不能为零. 等比数列的定义 或 注意： (1)等比数列{an}中,an≠0;奇数项的符号相同,偶数项符号相同； (2)公比q一定是由后项比前项所得,而不能用前项比后项来求,且q≠0； (3)若q＝1，则该数列为常数列． (4)常数列 a, a , a , a , … a≠0 时,既是等差数列,又是等比数列; 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)数列－1，1，1，－1，…是等比数列．(　　) (3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (4)常数列一定为等比数列．(　　) × × × × 巩固提升 答案：ACD   答案：B   例1 以下数列中，哪些是等比数列？ 解: （1）是等比数列，公比q= （2）是公比为1的等比数列； （3）因为 所以该数列不是等比数列； （4）当a≠0时，这个数列为公比为a的等比数列；当a=0时，它不是等比数列. 通项公式 数学式 子表示 定 义 等比数列 等差数列 名　称 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示 an+1-an=d an = a1 +（n-1）d 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示 ? 16 等比数列的通项公式： 法一：递推法 …… 由此归纳等比数列的通项公式可得： 等比数列 等差数列 …… 由此归纳等差数列 的通项公式可得： 类比 等比数列的通项公式： 迭乘法 …… 共n – 1 项 ×） 等比数列 法二：迭加法 …… +） 等差数列 类比 拓展： 可得 可得 等差数列 等比数列 类比 等比数列的通项公式 当q=1时，这是一个常数列。 等比数列 ，首项为 ,公比为q,则通项公式为 在等差数列 中 试问：在等比数列 中，如果知道 和公比q，能否求 ？如果能，请写出表达式。 思考：变形结论: 21 例2 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12