函数的单调性 讲义--2024届高三数学一轮复习

函数的单调性 一．课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值. 2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义. 二．知识整合 1.函数的单调性 增函数 减函数 定义 设函数 的定义域为 ，区间 ，如果 ， 当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增，此时称 在区间 上是增函数 当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递减，此时称 在区间 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是 的 自左向右看图象是 的 2.单调区间的定义 如果函数 在区间 上 或 ，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做 的单调区间. 提 醒：（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域. （2）一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“ ”连接. （3）“函数的单调区间为 ”与“函数在区间 上单调”是两个不同的概念,显然 . 3.（初中）基本初等函数的单调性：（1）一次函数 （2）二次函数 （3）反比例函数 知识拓展 1.单调性定义的等价形式 设对任意的 , , . （1）若有 或 ,则 在闭区间 上是增函数. （2）若有 或 ,则 在闭区间 上是减函数. 2.复合函数的单调性 函数 , ,在函数 的定义域上,如果 与 的单调性相同,那么 单调递增;如果 与 的单调性相反,那么 单调递减. 3.函数单调性的常用结论 （1）若 , 均为区间 上的增（减）函数,则 也是区间 上的增（减）函数. （2）若 ,则 与 的单调性相同;若 ,则 与 的单调性相反. （3）函数 与 , 在公共定义域内的单调性相反. （4）函数 的增区间为 和 ,减区间为 和 . 三．典型例题 题型一： 求不含参函数的单调性（区间） 例1 （1） 下列函数中，定义域为 ，且为 上的增函数的是( ) A. B. C. D. （2）函数 的单调递减区间为( ) A. B. C. D. （3） 函数 的单调递增区间是 . 题型二 确定含参函数的单调性（区间） 例2 试讨论函数 在 上的单调性. 方法感悟：判断函数的单调性或单调区间的方法 定义法 一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若函数 是以图象形式给出的，或者 的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定函数的单调区间 导数法 先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间 性质法 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减”进行判断 复合法 对于复合函数，先将函数 分解成 和 ，然后讨论（判断）这两个函数的单调性，再根据复合函数的单调性“同增异减”的规则进行判断 题型三 函数单调性的应用 例3 已知函数 ， ，且 ，则( ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 方法感悟：利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题，通常选用数形结合的方法求解. 例4已知函数 ，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 方法感悟：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“ ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 例5 已知函数 在 单调递增，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 方法感悟：利用函数单调性求参数的解题策略 （1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. （2）需注意，若函数在区间 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. （3）分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小. 四．达标练习迁 1. （多选题）在下列函数中，满足对任意 ， ， 的是( ) A. B. C. D. 2. 设 的定义域为 ，图象关于 轴对称，且 在 上为增函数，则 ， ， 的大小顺序是( ) A. B. C. D. 3. 多选题 下列函数中，在 上为增函数的是( ) A. B. C.