同构函数专题-2024届高三数学一轮复习

培优3 同构函数 类型一　地位同等同构型 　含有二元变量x1，x2的函数，常见的同构类型有以下几种： (1)g(x1)－g(x2)>λ[f(x2)－f(x1)]⇔g(x1)＋λf(x1)>g(x2)＋λf(x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf(x)； (2)>k(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)<kx1－kx2⇔f(x1)－kx1<f(x2)－kx2， 构造函数φ(x)＝f(x)－kx； (3)<(x1<x2)⇔f(x1)－f(x2)>＝－⇔f(x1)＋>f(x2)＋， 构造函数φ(x)＝f(x)＋. 例1.若0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a的最大值为(　　) A. B.1 C.e D.2e 类型二　指对跨阶同构型 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：x＝eln x，xex＝eln x＋x，x2ex＝e2ln x＋x，＝e－ln x＋x，ln x＋ln a＝ln(ax)，ln x－1＝ln ，有时也需要对两边同时加、乘某式等. 规律方法　指对跨阶同构的基本模式有： (1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式： ①同左：aea≤bln b⇔aea≤(ln b)eln b，构造函数f(x)＝xex； ②同右：aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x； ③两边同取自然对数：a＋ln a≤ln b＋ln(ln b)，构造函数f(x)＝x＋ln x. (2)商型：<，一般也有三种同构方式： ①同左：<⇔<，构造函数f(x)＝； ②同右：<⇔<，构造函数f(x)＝； ③两边同取自然对数：a－ln a<ln b－ln(ln b)，构造函数f(x)＝x－ln x. (3)和差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式： ①同左：ea±a>b±ln b⇔ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x； ②同右：ea±a>b±ln b⇔ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x. 例1(2022·盐城质检)已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是________. 练习：已知函数f(x)＝ex－－1在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则实数k＝________. 例2　已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为________． 练习． 1.(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值可能是(　　) A．e B. C. D. 2.(2022·南通质检)若关于x的不等式ex－a≥ln x＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(－∞，e] C.(－∞，1] D.(－∞，2] 3.已知a＞1，若对任意的x∈，不等式4x－ln 3x≤aex－ln a恒成立，则a的最小值为________. 4.若∀x∈[e，＋∞)，满足2x3ln x－me≥0恒成立，则实数m的取值范围为________. 5.若不等式e(m－1)x＋3mxex≥3exln x＋7xex对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________. 课后练习 1．若不等式xex－a≥ln x＋x－1恒成立，则实数a的最大值为________． 2. 已知函数f(x)＝，则不等式f(x)＞ex的解集为(　　) A.(0，1) B. C.(1，e) D.(1，＋∞) 3. 若关于x的不等式x2e3x≥(k＋3)x＋2ln x＋1对任意x>0恒成立，则k的取值范围是________. 4. 若对于任意实数x>0，不等式2ae2x－ln x＋ln a≥0恒成立，则a的取值范围是________. 5.已知函数f(x)＝x－ln x， (1)求函数f(x)的单调性； (2)当x＞，证明：≥e＋1； (3)若不等式x＋aln x＋≥xa对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的最小值. 参考答案： 1.解析　∵xex－a≥ln x＋x－1，∴eln x＋x－a≥ln x＋x－1，令t＝ln x＋x，则et－a≥t－1恒成立，则a≤et－t＋1恒成立， 令φ(t)＝et－t＋1，∴φ′(t)＝et－1，当t∈(－∞，0)时，φ′(t)<0；当t∈(0，＋∞)时，φ′(t)>0， ∴φ(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(t)min＝φ(0)＝2，∴a≤2，