1.1 等腰三角形第4课时（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 八年级下册 第4课时 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形 学习目标 1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点) 2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点) 复习回顾 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”). 用反证法证题的一般步骤: 1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 一、创设情境，引入新知 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形又满足什么条件时是等边三角形呢？ 你能证明你的结论吗？ 二、自主合作，探究新知 探究一：等边三角形的判定 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ A B C 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. A B C 二、自主合作，探究新知 ∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理1： 二、自主合作，探究新知 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 已知： 若AB=AC , ∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ A B C 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． A C B 60° 二、自主合作，探究新知 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 第二种情况：有一个底角是60°. 【验证】 例1：如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC. 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 二、自主合作，探究新知 典型例题 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 二、自主合作，探究新知 变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°. ∵ AD=AE, ∴ △ADE是等腰三角形 ∴ △ADE是等边三角形. 又∵ ∠A=60°. A C B D E 知识要点 二、自主合作，探究新知 等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定的条件 等边对等角 等角对等边 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 做一做：用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 二、自主合作，探究新知 探究二：含30°角的直角三角形的性质 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 30° 30° 30° 结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 二、自主合作，探究新知 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 A 30° B C 30° 30° 猜想验证 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°. 求证:BC=AB. 二、自主合作，探究新知 ∵ ∠ACB=90°, ∠BAC=30°， ∴∠ACD=90°，∠B=60°， ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AB=AD（全等三角形的对应边相等）. ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)， 30° A B C D 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. ∴BC=BD=AB． 二、自主合作，探究新知 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于3