3.3抛物线导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二《数学》导学案 编制： 审核： 时间： §3.3抛物线 1． 抛物线的定义 到一定点F和定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线叫做抛物线的准线。 注意：到一定点F和定直线距离相等的点的轨迹是过F且垂直于的直线。 抛物线的标准方程：焦点在轴上的统一方程： 焦点在轴上的统一方程： 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离 相等 ； (3)定点F与定直线l的关系为 ． 2． 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P(x0，y0)) 抛物线焦点弦的处理规律 直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝． (2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p． (3)＋＝． (4)弦长＝(α为AB的倾斜角)． (5)以AB为直径的圆与准线相切． (6)焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°． (7)A、O、D三点共线；B、O、C三点共线． (8)(α为AB的倾斜角) (9)若直线AB的倾斜角为α，且A位于轴的上方，B位于轴的下方，则 题型一 求抛物线的标准方程 例一1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（　　） A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x 2．已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 3．经过点的抛物线的标准方程是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽（　　）米． A． B． C． D． 5．若椭圆的左焦点在抛物线的准线上，则p的值为 6．若点在抛物线上，则实数的值为 . 7．顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是 ． 名师点拨☞求抛物线标准方程的方法 1.定义法: 根据定义求p，最后写标准方程; 2. 待定系数法：设标准方程或，列有关的方程组求系数； 3. 直接法：建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程.． 【对点练习】❶1．若抛物线的准线方程是，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的准线方程是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线方程为（　　） A． B．x C． D．x 4．（多选题）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 5．若抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则 . 6．求以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程 题型二 抛物线最值问题 例2（1）若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． （2）．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． （3）．抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则值为（ ） A． B． C． D． 名师点拨☞解决最值问题 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化， 所以焦半径|MF|＝x0＋. 【对点练习】❷（1）已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（    ） A． B． C． D． （2）已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． （3）已知抛物线y2＝4x上一点P（3，y），则点P到抛物线焦点的距离为 ． （4）如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是