2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最大值 1．已知：抛物线经过，，．      (1)求抛物线解析式． (2)在线段下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求：点坐标及面积最大值． (3)如图2，直线交轴于点，取点，取线段的中点，以原点为圆心，长为半径做，点是上的动点，连接、．求：的最小值． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．    (1)二次函数图像的对称轴为直线． ①求二次函数的表达式； ②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________； ③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值； (2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值． 3．如图，在平面直觓坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．    (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差． (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； 5．如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)求的面积； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 6．如图，抛物线 与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是直线下方抛物线的一个动点，当面积最大时，求点的坐标及面积最大值． (3)若点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 7．如图，已知点在二次函数的图象上，且    (1)若该二次函数的图象经过点，求这个二次函数的表达式； (2)若，求时二次函数的最大值与最小值的差； (3)当时，的最小值为，求的值． 8．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，经过原点O的抛物线（a、b为常数，）与x轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为C点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，为直线上方抛物线上一动点，连接，交于，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P、Q分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第四象限是否存在这样的点P、Q，使．若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．    (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线