重难点专题02：数列前n项和常用解题方法-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第二册)

重难点专题02：数列前n项和常用解题方法 考法01：等差数列 ① 1．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 ． 2．已知，. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 考法02：等比数列 ② 3．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．18 B．54 C．128 D．192 4．已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 考法03：裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ① ② ③ ④ ⑤ 5．已知数列. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 6．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 考法04：错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法) . 7．已知数列的首项为，且满足，数列满足，且． (1)求，的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求． 8．已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，求证：． 考法05：倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法) . 9．设， A．4 B．5 C．6 D．10 10．求的值. 考法06：分组（并项）求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 11．求数列，，，…，，…的前n项和． 12．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 考法07：分段求和法：如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和． 13．在等差数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 14．已知等差数列前三项的和为，前三项的积为. （Ⅰ）求等差数列的通项公式； （Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和 考法08：奇偶分析求和法 15．已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（    ）． A． B． C． D． 16．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 考法09：其它求和法 17．设数列的前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．设是函数的零点，. （Ⅰ）求证：，且； （Ⅱ）求证： 答案第1页，总2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题02：数列前n项和常用解题方法 考法01：等差数列 ① 1．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据等差数列的等差中项以及前项和公式，即可求得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 2．已知，. (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可； （2）根据等差数列求和公式求出的前项和即可. 【详解】（1）因为，，又， 由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式为. （2）由等差数列的求和公式可得：，所以 考法02：等比数列 ② 3．已知等比数列的前项和为，则（    ） A．18 B．54 C．128 D．192 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义结合求和定义，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得． ． 故选：D. 4．已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得,进而可得,然后利用求和公式即得. 【详解】设数列的公比为, 由题意可得：, 又数列是递增的等比数列, 所以, 所以, 所以数列的前项和为. 故选:A. 考法03：裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ① ② ③ ④ ⑤ 5．已知数列. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可； （2）根据（1）中证明过程得到数列通项公式，得到数列通项公式，再裂项相消求和即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 所以， 所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）知，， 所以， . 6．已知数列满足，且. (1)求数列