预习01 平面向量的概念及线性运算（四大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习01平面向量的概念 一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 二、向量间的关系 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 考点01向量的概念与表示 【方法点拨】（1）解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题； （2）向量的表示方法：①几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点；②字母表示法:为了便于运算,可用字母表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如等. 【例1】有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移． 【变式1-1】下列说法中，正确的个数是（    ） ①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是 . 【变式1-3】在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 考点02向量的模 【例3】在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【例4】如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与的模相等的向量（除本身）共有 个. 【变式2-1】如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么（　　 ） A． B． C． D．与不能比大小 【变式2-2】如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【变式2-3】如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模. 考点03零向量与单位向量 【方法点拨】零向量：长度为0的向量；其方向是任意的，记作；单位向量：长度等于1个单位的向量 【例5】下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【例6】设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【变式3-2】下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【变式3-3】若与任意都平行，则 ． 考点04相等向量与共线向量 【方法点拨】（1）寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量； （2）寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是与已知向量方向相同的向量. 【例7】如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【例8】（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D．若，都是单位向量，则 【变式4-1】如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.