2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册寒假综合自检卷

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册寒假综合自检卷 一、选择题 1．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（　　） A． B． C． D． 2．直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 4．双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．倾斜角为120°的直线经过点和，则a =（　　） A．0 B．2 C． D． 6．过，两点的直线的斜率为（　　） A． B．4 C． D． 7．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 8．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（　　） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 10． 已知直线和直线，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．直线过定点，直线过定点 D．当平行时，两直线的距离为 11．已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线l的倾斜角是 B．点到直线的距离是2 C．若直线，则 D．过与直线平行的直线方程是 12．记的图象为，如图，一光线从x轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点P，直线交直线于点Q，下面说法正确的是（　　） A． B． C．以为直径的圆与直线相切 D．P，N，Q三点共线 三、填空题 13． 已知圆，则圆上到直线的距离为的点个数为　 　． 14．写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程　 　. 15．如图从双曲线其中的左焦点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于，若为线段的中点，为原点，则的值为　 　用、表示． 16．已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是　 　. 四、解答题 17．如图，正方体的棱长为2． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，，点满足（）. （1）求直线与平面的夹角正弦值； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 19．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 20．已知双曲线：的一个焦点与抛物线的焦点重合. （1）求抛物线的方程； （2）直线交抛物线于、两点，为原点，求证：以为直径的圆经过原点. 21．如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 ． （1）求椭圆E的方程； （2）若经过点 ，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值． 22．已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率. 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】A,C 10．【答案】A,C,D 11．【答案】B,D 12．【答案】A,C,D 13．【答案】3 14．【答案】或（答案不唯一） 15．【答案】-4 16．【答案】 17．【答案】（1）解：证明：平面平面， 平面． （2）解：如图，以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以， 设平面的法向量为， 由得 令，得， ． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18．【答案】（1）解：在三棱柱中，面面， 又因为正方形，所以，且平面， 以为原点，，，的方向分别为，，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知，， 则，，，， ， 设平面的法向量为，则， 令，可得法向量为，也即是平面的法向量， 又，设直线与平面的夹角为 （2）解：因为，所以， 则，， 设面的法向量为， 则， 令，可得法向量为， 所以， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以，可得，所以或. 19．【答案】（1）解：由题可知， ， 解得 ， 故抛物线 的方程为 . （2）解：设 ， 则 ， 两式相减得 ，即 . 因为线段 A B 的中点坐标为 ， 所以 ， 则 ，故直线 的斜率为 2 .