2023-2024学年高二数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何练习卷

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何练习卷 一、选择题 1．若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．平行六面体中，，则（　　） A．1 B． C． D． 4．空间四边形中，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．如图，在三棱锥中，，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 6．已知向量，，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（　　） A． B． C． D． 8．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知正方体的棱长为1，点P满足，，，（P，B，D，四点不重合），则下列说法正确的是（　　）． A．当时，的最小值是1 B．当，时，∥平面 C．当，时，平面平面 D．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 10．已知正方体的棱长为，为棱包含端点上的动点，下列命题正确的（　　） A．二面角的大小为 B． C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 11．已知，，，则（　　） A． B． C．若，则 D．若，则， 12．已知，，是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 三、填空题 13．已知，空间向量．若，则　 　． 14．已知平面 的法向量为 ，点 在平面 内，若点 到平面 的距离 为 ，则 　 　. 15． 已知异面直线和的方向向量分别为，则异面直线和所成角的余弦值为　 　． 16．如图在长方体中，，点为的中点，点为的中点.则　 　. 四、解答题 17．如图，正四棱柱中，M为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18．如图，在直三棱柱中，，． （1）求点到平面的距离； （2）若点是棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 19．如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点. （1）求证：； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面所成锐二面角的大小. 条件①：； 条件②：平面平面； 条件③：. 20．如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于. （1）求证：； （2）当为中点时，求点到平面的距离； （3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 21．已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面. （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值. 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B,C,D 10．【答案】B,D 11．【答案】A,C,D 12．【答案】B,C 13．【答案】1 14．【答案】-1或-11-11或-1 15．【答案】 16．【答案】4 17．【答案】（1）解：连接. 正四棱柱中，M为的中点，，， ，，，，. ， . 同理可得. ，平面，平面， 平面. （2）解：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，， ，，. 设平面的一个法向量为. 由，得 令，得. 设平面的一个法向量为. 由，得 令，得. . 由二面角为锐角， 所求二面角的余弦值为. 18．【答案】（1）解：因为直三棱柱 底而三角形 A B C 满足： ，且 ， 则以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 ， . 设面 的法向量为 ，则 ， 取 .又 ， 设点 到而 的距离为 ， 则 . （2）解：由题可得 ， 设 与面 的夹角为 ，则 . 19．【答案】（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以，平面平面PBC，所以平面PBC， 又因为平面ADF与PB交于点平面ADFE，平面平面，所以. （2）选条件①②，则，平面平面ABCD. 因为侧面PAD为等腰直角三角形，且，即，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD， 又因为平面平面ABCD，所以，又由ABCD为正方形得. 以点为坐标原点，AB，AD，AP分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系