2023-2024学年高二数学人教A版选择性必修第二册寒假综合自检卷

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册寒假综合自检卷 一、选择题 1．已知数列满足，那么（　　）是等差数列 A． B． C． D． 2．正项等比数列的前n项和为，且满足，则的最大值为（　　） A．256 B．512 C．1024 D．2048 3．已知是各项均为正数的等比数列的前项和，，，则（　　） A．31 B．63 C．16 D．127 4．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（　　） A． B． C． D． 5．若数列满足则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且，，则（　　） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是“平方递推数列” D．是“平方递推数列” 6．若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数有有一个极值点，则k的取值此围是（　　） A． B． C． D． 8．函数在处取得极值0，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 二、多项选择题 9．已知函数，则下列说法错误的是（　　） A．的图象在处的切线斜率大于0 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．若有两个零点，则 10．斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义： ，（，）.则（　　） A． B． C． D． 11．已知函数，下列结论正确的是（　　） A．有且只有一个零点 B． C．，直线与的图象相切 D． 12．已知定义在R上的函数满足，，则（　　） A． B．4是的一个周期 C． D． 三、填空题 13．已知数列满足，则　 　. 14．等差数列中，，前项和为，若，则　 　． 15．已知函数则的极小值为　 　． 16．定义；若函数图象上存在相异的两点满足曲线在处的切线重合，则称是“重切函数”，直线为曲线的“双重切线”，由上述定义可知曲线的“双重切线”的方程为　 　． 四、解答题 17．已知 是等差数列 的前n项和，且 . （1）求数列 的通项公式； （2） 为何值时， 取得最大值并求其最大值． 18．已知数列满足，且. （1）求，，； （2）证明：数列是等差数列，并求. 19． 已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 20．已知函数. （1）当时，证明：. （2）试问是否为的极值点？说明你的理由. 21．设函数. （1）当，时， ①求在处的切线方程； ②求证：当时，； （2）当时，已知为函数两个零点（为的导数），求证：. 22．已知函数，. （1）求函数的单调性； （2）当时，求证：. 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A,C,D 10．【答案】A,C,D 11．【答案】A,D 12．【答案】B,C,D 13．【答案】 14．【答案】-2022 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】（1）解：由题意可知： ，当 时， ， 当 时， ， 当 时，显然成立，∴数列 的通项公式 （2）解： ， 由 ，则 时， 取得最大值28， ∴当 为4时， 取得最大值，最大值28 18．【答案】（1）解：因为， 所以，，. （2）证明：因为， 所以， 则， 故， 又，所以， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列. 所以，. 则. 19．【答案】（1）解：不妨设等差数列的首项、公差分别为，， 由题意有， 所以有，即， 所以， 又因为，，成等比数列， 所以，整理得， 解得，所以， 由等差数列定义可知； （2）解：由（1）可知，所以， 由题意当时，有， 所以， 以上两式相减得 ， 所以， 且当时，有， 综上所述：． 20．【答案】（1）证明：，要证， 只需证， 即证. 设函数， 则，则在上单调递增， 则， 所以当时，得证， 从而当时，得证. （2）解：解：的导数. 令函数，， 当时，. 的导数， 当时，，则在上单调递增. 因为，，所以，. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，所以当时，； 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 所以不是的极值点. 21．【答案】（1）解：①；②证明略 （2）解：证明略 22．【答案】（1）解：因为， 若，则，在R上单调递增； 若， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）解：当时，要成立. 即证成立， ①当时，设函数， ， 在上单调递增. . 成立. ②