2023-2024学年高一数学人教A版第六章平面向量及其应用练习卷

2023-2024学年高中数学人教A版第六章平面向量及其应用练习卷 一、选择题 1．已知 =(2，3)， =(3，t)， =1，则 =（　　） A．-3 B．-2 C．2 D．3 2．已知单位向量的夹角为，且，则（　　） A． B．6 C．2 D．4 3．下列命题中正确的是（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 4．平面向量与的夹角为60°，，则等于 (　　) A． B． C．4 D．12 5．已知与共线，且向量与向量垂直，则（　　） A． B． C． D． 6．已知非零向量满足，则（　　） A． B． C． D． 7．已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 8．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知单位向量，满足，则以下结论正确的有（　　） A． B． C．向量，的夹角为 D．在上的投影向量为 10．在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（　　） A．的取值范围是 B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是 C．的最大值是 D．若，且，则最大值为2 11．在三角形中，令，，若，，，，则（　　） A．，的夹角为 B．， C． D．三角形的边上的中线长为 12．图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°，正三角形，正方形，正六边形都可以密铺.如图所示，是一个可密铺的正六边形，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 13．设向量，为单位正交基底，若，，且，则　 　. 14．已知外接圆的圆心为是边上一动点，若，则的最大值为　 　. 15．已知平面向量，，.若，则x＝　 　. 16．已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为　 　. 四、解答题 17．已知向量 . （1）求 的最小值及相应的 值； （2）若 与 共线，求实数 . 18．已知向量，设函数. （1）求在上的单调增区间； （2）若对任意恒成立，求的取值范围. 19．在中，点P为所在平面内一点. （1）若点P在边BC上，且，用，表示； （2）若点P是的重心. ①求证：； ②若，求. 20．在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量， （1）试用表示向量与； （2）求的值. 21．已知，，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 22．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则： ①；②； ③；④. （1）设，，求和. （2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论： ① ② ③. 试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明. （3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立. 根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】A,D 10．【答案】A,C,D 11．【答案】A,B,D 12．【答案】A,B,D 13．【答案】2 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】1 17．【答案】（1）解：∵ ∴ ∴ ，当且仅当 时取等号， 即 的最小值为 ，此时 （2）解：∵ 又 与 共线， ∴ ． 解之可得 . 18．【答案】（1）解：， 当时，则. 由，可得， 故函数在上的单调增区间为. （2）解：当时，则， 故当，即时，函数的最大值为， 当，即时，函数的最小值为0， 所以在上的最大值为1， 由于对任意恒成立，故， 故的取值范围为. 19．【答案】（1）解：如图： 过点P作交AB于点D，交AC于点E，则四边形为平行四边形， 所以，由，所以，即， 同理，即，所以； （2）解：①如图： 延长AP交BC于点F，因为点P是的重心，所以点F为BC的中点，且， 所以，即，又，所以； ②点P是的重心时，由①知及， 所以，所以， 由正弦定理知，不妨设，， 由余弦定理得. 20．【答案】（1）解：如图，因为点是边的中点，所以， 则， 同理，. （2）解：由（1）可知，，， 又因为为矩形，所以， 则. 21．【答案】（1）解：由已知得，， ∵，∴， ∴. （2）解：由已知得，，，