27.2.2 相似三角形的性质　讲义　2023—2024学年人教版数学九年级下册

第12讲 相似三角形的性质 学习目标： 1．理解相似三角形的性质；(重点) 2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点) 自主探究 1、我们已经学了相似三角形的哪些性质？ 2、问题情境：某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。现在的问题是：被削去的部分面积有多少？周长是多少？你能解决这个问题吗？ (1) 看一看：△ABC与△ADE有什么关系？为什么？ (2) 算一算：△ABC与△ADE的相似比是多少？ △ABC与△ADE的周长比是多少？面积比是多少？ (3) 想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？ (4) 验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？ 新知导入 相似三角形对应线段的比等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 基础训练，加深理解 练一练：已知两个三角形相似，请完成下列表格： 相似比 2 …… 周长比 …… 面积比 10000 …… 学以致用 探究点一： 相似三角形的性质 【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积 例1.如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点． (1)求△BEF与△AFD的周长之比； (2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD. 【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比 例2.若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为(　　) A．1∶2 B.∶2 C．1∶4 D.∶1 【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算 例3.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高． 【类型四】 利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题 例4.如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D. (1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN； (2)若S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，求的值． 【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题 例5.如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上． 小试牛刀 知识点1　相似三角形对应线段的比等于相似比 1.(2023甘肃兰州城关期末)两个相似三角形对应边之比为2∶3,那么它们的对应中线之比为(M9227005)(　　) A.2∶3　　　 B.3∶2　　　C.4∶9　　　D.9∶4 2.两个相似三角形对应边上的高分别是6 cm,8 cm,那么两三角形的相似比为　　　　.(M9227005)  3.已知△ABC∽△A1B1C1,顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应,AB∶A1B1=3∶5,AE、A1E1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线,如果A1E1=7.5,那么AE的长为　　　　.(M9227005)  4.如图,已知△ABC的面积为12,BC=6.将△ABC沿直线BC向右平移2个单位长度,得到△DEF,AC与DE交于点M,作MN⊥BC于N,则MN=　　　　.(M9227005)  知识点2　相似三角形周长的比等于相似比 5.(2023重庆中考A卷)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这两个三角形对应边的比是(M9227005)(　　) A.1∶2　　　B.1∶4　　　C.1∶8　　　D.1∶16 6.(2023四川成都高新区模拟)已知△ABC∽△DEF,且,若△ABC的周长为2,则△DEF的周长为(M9227005)(　　) A.　　　　C.6　　　　D.18 7.如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是5 cm和2 cm,它们周长的差是60 cm,那么这两个三角形的周长分别为　　　　　　.  8.【教材变式·P42T3】(2020江苏南通中考)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则的值等于　　　　.(M9227005)  （第8题） （第10题） 知识点3　相似三角形面积的比等于相似比的平方 9.(2023贵州安顺西秀模拟)已知△ABC∽△DEF,若AB=2,DE=3,则S△ABC∶S△DEF=(M9227005)(　　) A.2∶3　　　B.4∶6　　　C.4∶9　　　D.2∶9 10.(2021四川雅安中考