2024年九年级中考数学提优几何模型4：截长补短构造全等模型

冲刺中考 中考提优几何模型四 截长补短构造全等 模型 （解决线段和问题的重要模型） 几何专题四：截长补短构造全等模型 模型：截长补短模型如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法. 截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可. 补短法：如图③，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可. 模型:截长补短 模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程. 常见模型示例：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD . 典型例题： 例1.如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2.求证：AB=AC+CD. 例2.如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A=∠GBD.求证：AO+BO=2CO. 例3.如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB.求证：AB+CD=BC. 例4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于D，∠C=30°，BE⊥AD于E点.求证：AC-AB=2BE. 例5.如图，在Rt△ACB中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于E点.求证：AD=2DF+CE. 作业训练 1.如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　） A．6 B．7 C．8 D．9 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=5，CD=6，则AC的长为（ ） A．3 B．9 C．11 D．15 3.如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为 ． 4.如图，△ABC中，AD平分，，，则∠B的度数为_______． 5.如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________． 6.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD.求∠ABC的度数. 7.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证：AC=AE+CD. 8.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠B+∠E=180°.求证：AD平分∠CDE. 9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 10.如图△ABC中，分别平分相交于点P． （1）求的度数； （2）求证：. 11.在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G． (1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF； (2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG． 12.如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF＝AD． (1)若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长； (2)求证：AB＝DG+FC． 13.在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系． (1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN． (2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？ 答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． (3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．   14.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立