广东省汕头市金山中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

汕头市金山中学2024届高三第一次模拟考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的实部为1，且，则（ ） A B. C. D. 3. 已知向量， ，，则向量与夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C D. 5. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（ ） A. 3.6天 B. 3.0天 C. 2.4天 D. 1.8天 7. 已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若曲线上存在两点，这两点关于直线的对称点都在曲线上，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 在某次高中学科知识竞赛中，从4000名考生的参赛成绩中随机选取400个成绩进行统计，可得到如图所示的频率直方图，其中60分以下视为不及格，则下列说法中正确的有（ ） A. 成绩在分内的考生人数最多 B. 4000名考生中约有1000名不及格 C. 估计考生竞赛成绩的平均分为70.5分 D. 估计考生竞赛成绩的中位数为75分 10. 如图，设正方体的棱长为，点是的中点，点为空间内两点，且，则（ ） A. 若平面，则点与点重合 B. 设，则动点的轨迹长度为 C. 平面与平面的夹角的余弦值为 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 11. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 是椭圆上一点，若，则 D. 若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 12. 已知函数和，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知的展开式中含的项的系数为5，则_________． 14. 已知首项大于0的等差数列的公差，且，则_______． 15. 若椭圆焦点在y轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好和椭圆只有一个交点，则椭圆内接矩形最大时的离心率是______. 16. 已知定义在R上的函数满足，若函数与有n个公共点，分别为，则______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 记的内角的对边分别为，，，的面积为，已知，． （1）求角； （2）若，求的值． 18. 如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为． （1）求，，并求数列通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 19. 已知平行四边形如图甲，，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 20. 新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科. （1）从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； （2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率. 21. 已知P为圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，M为PQ的中点.M的轨迹曲线E. （1）求曲线E的轨迹方