导数与函数的极值和最值 讲义-2024届高三数学一轮复习

高考复习之 函数的极值和最值与导数 一、函数极值： 1.定义一般地，设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，我们说是函数的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，我们说是函数的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 注：（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>。 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 2.判别与求法 假设使，那么在什么情况下是的极值点呢？ 如上左图所示，若是的极大值点，则两侧附近点的函数值必须小于。因此，的左侧附近只能是增函数，即。的右侧附近只能是减函数，即，同理，如上右图所示，若是极小值点，则在的左侧附近只能是减函数，即，在的右侧附近只能是增函数，即，从而我们得出结论：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。 求极值常按如下步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程=0的根，这些根也称为可能极值点； ④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法) 二、例题与实践： 【例1】求函数的极值 （1）（2） 【例2】设函数,,其中，将的最小值记为. (Ⅰ)求的表达式； (Ⅱ）讨论在区间（-1,1）内的单调性并求极值. 解：（）我们有 ． 由于，，故当时，达到其最小值，即 ． （）我们有． 列表如下： 极大值 极小值 由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为． 实践反馈 求下列函数的极值： （1）； （2） 三、定义在闭区间上函数的最值： 在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小 观察下面一个定义在区间上的函数的图象 发现图中            是极小值，         是极大值，在区间上的函数的最大值是      ，最小值是        在 区 间上 求 函 数的 最大值 与 最 小 值 的 步 骤 ： 1、函 数在内 有 导 数 ； 2、求 函 数在内的极值 3、函数在内的极值与比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值 四、例题与实践： 【例】求函数在区间上的最大值与最小值。 解：先求导数，得 令＝0即解得 导数的正负以及，如下表 x －2 （－2，－1） －1 （－1，0） 0 （0，1） 1 （1，2） 2 y 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 4 5 4 13 从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4 实践反馈 1. 求函数在区间上的最大值与最小值。 2. 有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为． （）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域； （）求面积的最大值． 《导数与极值》课后练习题 一、单选题 1．已知，则（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 2．已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（ ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 4．若函数在处有最大（小）值，则a等于（ ） A．2 B．1 C． D．0 5．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 6．关于的函数的极值点的个数有（　　　） A．2个 B．1个 C．0个 D．由确定 7．函数有极值的充要条件是 （　　　） A． B． C． D． 8．已知函数在处取得极值，则（ ） A．1 B．2 C． D．-2 9．已知a为函数的极小值点，则a=（ ） A．3 B．－2 C．4 D．2 10．函数的极大值为（） A． B． C． D． 11．函数在处有极值,则的值为( ) A． B． C． D． 12．函数的极值点为，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 13．已知是的极