广东省广州市培正中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟测试数学试题

保密★启用前 广东省广州市培正中学2024届第一次模拟测试 数学试题 满分：150分；时间120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．设集合，，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若复数（i是虚数单位），则（    ） A． B．1 C． D． 3．已知向量，，，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为（    ）． A．1 B．2 C． D． 4．在三角形ABC中，已知三边之比，则的值等于（    ） A．1 B．2 C． D． 5．数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为 A． B． C． D． 6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（    ） A． B． C． D． 7．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9．下列说法正确的是（    ） A．数据的第45百分位数是4 B．若数据的标准差为，则数据的标准差为 C．随机变量服从正态分布，若，则 D．随机变量服从二项分布，若方差，则 10．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ） A． B．函数的图象关于点对称 C．当时，水深度达到 D．已知函数的定义域为，有个零点，则 11．已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球的表面积为 B．球在正方体外部的体积大于 C．球内接圆柱的侧面积的最大值为 D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则 12．已知函数，.（    ） A．若曲线在点处的切线方程为，且过点，则， B．当且时，函数在上单调递增 C．当时，若函数有三个零点，则 D．当时，若存在唯一的整数，使得，则 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13．已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 14．设数列满足，，，令，则数列的前100项和为 ． 15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是 . 16．若实数t是方程的根，则的值为 . 四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效， 17．（本题10分）在中，角，，所对应的边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若的面积为，求的值. 18．（本题12分）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 19．（本题12分）已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求的前项和. 20．（本题12分）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表： 2022年 2023年 通过 未通过 通过 未通过 第一次 60人 40人 50人 50人 第二次 70人