第02讲 平面向量的数量积讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

努力成就梦想 方法创造奇迹 第02讲 平面向量的数量积 知识解读： 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量和，如图所示，作， 则叫做向量与的夹角，记作． 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．　 (2)范围：夹角的范围是． 当时，两向量，共线且同向； 当时，两向量，相互垂直，记作⊥； 当时，两向量，共线但反向． 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中是与的夹角． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设是，的夹角，则叫做向量在向量的方向上的投影，叫做向量在向量的方向上的投影． (2)的几何意义 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．　　　　　　　　　 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：. (2)数乘结合律：． (3)分配律：. 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即不一定等于，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线． 5．平面向量数量积的性质 设，为两个非零向量，是与同向的单位向量，是与的夹角，则 (1).(2). (3)当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或.(4). (5).1 概念 考点分析 【题型01】求数量积 【典题1】 已知向量满足，且，则 　 　． 【典题2】 在三角形中，若为边的三等分点，则　 　． 【题型02】 求向量夹角 【典题1】 已知向量满足，，，那么向量与的夹角为　 　． 【典题2】 已知向量满足，，则与的夹角的最大值为　 　． 【题型03】 求数量积最值 【典题1】 如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是　　. 【典题2】如图，已知矩形的边长．点分别在边上，且，则的最小值为　 　． 【典题3】 已知向量满足，与所成的角为，则当时，的最小值是　　． 限时训练 一、单选题 1、若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（    ） A． B． C．2 D．4 2、已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．4 B．8 C． D． 3、已知向量，，若与的夹角为，则为（    ） A． B． C． D．1 4、已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5、已知向量满足，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6、已知等边三角形，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7、在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 8、已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9、如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10、边长为2的等边中，为的中点.下列正确的是（    ） A． B． C． D． 11、下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 12、（多选）已知向量，，和实数，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13、功就是力与力的方向上所产生的位移的________． 14、已知，则向量在向量方向上的数量投影为___________. 15、已知向量的夹角为，且，则___________. 16、已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______ 17、已知非零向量，满足，若，则实数的值为 . 18、已知向量，满足，，则与的夹角的最大值为 . 19、已知非零向量满足：0且不等式恒立，则实数的最大值为 . 20、设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为，则(　　) A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 1 学科网（北京）股份有限公司 $$